Considere o sistema linear A x=b, com: A= \left(\begin{array}{ll}5.3 & 1.0 \\\\ 1.4 & 5.1\end{array}\right), x=\binom{x_{1}}{x_{2}} e b=\binom{1.88}{5.33}
a. Verifique se o sistema possui solução única;
b. Resolva o sistema usando o método de Gauss e arredondamento com duas casas decimais;
c. Obtenha a fatoração LU;
d. Realize o refinamento da solução de modo a obter uma solução com pelo menos três digitos corretos;
Passo 1
O enunciado pede quatro tarefas sobre o sistema linear A x = b, com
Resolver o sistema pelo método de Gauss, fazendo arredondamento com duas casas decimais (isto é, ao longo da eliminação arredondar os valores intermediários para 2 casas).
Obter a fatoração LU (sem pivoteamento).
Fazer um refinamento da solução (iterative refinement) para atingir pelo menos três dígitos corretos.
As informações relevantes dadas pelo enunciado são os elementos da matriz A e do vetor b mostrados acima. Não há outras condições adicionais.]
Passo 2
(a) Verificar existência e unicidade — determinante.
Para saber se há solução única verificamos o determinante de A. O determinante de uma 2\times2 é dado por
\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21},
onde a_{ij} são os elementos de A. Aqui a_{11}=5,3, a_{12}=1,0, a_{21}=1,4, a_{22}=5,1.
Como \det(A)=25,63\neq 0, a matriz A é invertível e o sistema possui solução única.
Passo 3
(b) Método de Gauss com arredondamento a duas casas decimais (passo a passo).
Regra aplicada: ao calcular multiplicadores e novas entradas da matriz aumentada, arredondamos esses resultados para duas casas decimais antes de usá-los nos passos seguintes.
Arredondando m para duas casas: m \leftarrow 0,26.
Atualizamos a segunda linha: L_2 \leftarrow L_2 - m\cdot L_1, usando m=0,26 e arredondando cada nova entrada para 2 casas.
Nova entrada a'_{21}=1,4 - 0,26\cdot5,3 = 1,4 - 1,378 = 0,022. Arredondando para 2 casas: 0,02. Porém aqui estamos eliminando abaixo de pivot; em aritmética matricial exata a entrada deveria ficar exatamente zero após eliminação. Como usamos o multiplicador arredondado, a prática usual é forçar esse elemento a zero (tratamento padrão no Gauss). Portanto colocamos a'_{21}=0,00.
Nova entrada a'_{22}=5,1 - 0,26\cdot1,0 = 5,1 - 0,26 = 4,84 (já com 2 casas).
Novo termo do lado direito b'_2 = 5,33 - 0,26\cdot1,88 = 5,33 - 0,4888 = 4,8412, arredondando para duas casas: 4,84.
Assim a matriz triangular superior aproximada (após eliminação com arredondamento) é
(Se preferir, \ell_{21} pode ser deixado exatamente como \dfrac{1,4}{5,3}.)]
Passo 5
(d) Refinamento da solução (iterative refinement) — objetivo: obter pelo menos três dígitos corretos.
Vou usar a solução obtida no Gauss com arredondamento como aproximação inicial
Compare com a solução exata (calculada separadamente com alta precisão: aproximadamente x\approx(0,16613\ldots,\,0,9994926\ldots)). A solução refinada x^{(1)} coincide nos três (e mais) primeiros dígitos significativos em ambas as componentes: x_{1}\approx0,1661\ldots e x_{2}\approx0,9994\ldots. Portanto já temos pelo menos três dígitos corretos.
Conclusão: uma única iteração de refinamento (a partir da solução arredondada de 2 casas) foi suficiente para garantir pelo menos três dígitos corretos na solução.]
Resposta
(a) Sim — solução única, pois \det(A)=25,63\neq 0.
(b) Solução pelo método de Gauss com arredondamento a 2 casas: \;x_{1}=0,17,\;x_{2}=1,00.
(c) Fatoração LU: