Considere o sistema linear A x=b, com: A= \left(\begin{array}{ll}5.3 & 1.0 \\\\ 1.4 & 5.1\end{array}\right), x=\binom{x_{1}}{x_{2}} e b=\binom{1.88}{5.33}
a. Verifique se o sistema possui solução única;
b. Resolva o sistema usando o método de Gauss e arredondamento com duas casas decimais;
c. Obtenha a fatoração LU;
d. Realize o refinamento da solução de modo a obter uma solução com pelo menos três digitos corretos;

Passo 1

O enunciado pede quatro tarefas sobre o sistema linear A x = b, com
A=\begin{pmatrix}5,3 & 1,0\\[4pt] 1,4 & 5,1\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt] x_{2}\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1,88\\[4pt] 5,33\end{pmatrix}.
As perguntas são:
  1. Verificar se o sistema possui solução única.
  2. Resolver o sistema pelo método de Gauss, fazendo arredondamento com duas casas decimais (isto é, ao longo da eliminação arredondar os valores intermediários para 2 casas).
  3. Obter a fatoração LU (sem pivoteamento).
  4. Fazer um refinamento da solução (iterative refinement) para atingir pelo menos três dígitos corretos.
As informações relevantes dadas pelo enunciado são os elementos da matriz A e do vetor b mostrados acima. Não há outras condições adicionais.]

Passo 2

(a) Verificar existência e unicidade — determinante.
  • Para saber se há solução única verificamos o determinante de A. O determinante de uma 2\times2 é dado por
\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21},
onde a_{ij} são os elementos de A. Aqui a_{11}=5,3, a_{12}=1,0, a_{21}=1,4, a_{22}=5,1.
  • Calculando:
\det(A)=5,3\cdot5,1 - 1,0\cdot1,4 = 27,03 - 1,4 = 25,63.
  • Como \det(A)=25,63\neq 0, a matriz A é invertível e o sistema possui solução única.

Passo 3

(b) Método de Gauss com arredondamento a duas casas decimais (passo a passo).
Regra aplicada: ao calcular multiplicadores e novas entradas da matriz aumentada, arredondamos esses resultados para duas casas decimais antes de usá-los nos passos seguintes.
Matriz aumentada inicial:
\left[\; \begin{array}{cc|c} 5,3 & 1,0 & 1,88\\[4pt] 1,4 & 5,1 & 5,33 \end{array}\;\right].
  1. Eliminação na coluna 1:
  • Multiplicador para zerar a_{21}:
m=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{1,4}{5,3}\approx 0,2641509\ldots
Arredondando m para duas casas: m \leftarrow 0,26.
  • Atualizamos a segunda linha: L_2 \leftarrow L_2 - m\cdot L_1, usando m=0,26 e arredondando cada nova entrada para 2 casas.
    • Nova entrada a'_{21}=1,4 - 0,26\cdot5,3 = 1,4 - 1,378 = 0,022. Arredondando para 2 casas: 0,02. Porém aqui estamos eliminando abaixo de pivot; em aritmética matricial exata a entrada deveria ficar exatamente zero após eliminação. Como usamos o multiplicador arredondado, a prática usual é forçar esse elemento a zero (tratamento padrão no Gauss). Portanto colocamos a'_{21}=0,00.
    • Nova entrada a'_{22}=5,1 - 0,26\cdot1,0 = 5,1 - 0,26 = 4,84 (já com 2 casas).
    • Novo termo do lado direito b'_2 = 5,33 - 0,26\cdot1,88 = 5,33 - 0,4888 = 4,8412, arredondando para duas casas: 4,84.
Assim a matriz triangular superior aproximada (após eliminação com arredondamento) é
\left[\; \begin{array}{cc|c} 5,3 & 1,0 & 1,88\\[4pt] 0,00 & 4,84 & 4,84 \end{array}\;\right].
  1. Retro-substituição:
  • Da segunda equação: 4,84\,x_{2}=4,84 \implies x_{2}=1,00 (arredondado a duas casas).
  • Da primeira equação: 5,3\,x_{1} + 1,0\cdot x_{2} = 1,88. Substituindo x_{2}=1,00,
5,3\,x_{1}=1,88-1,00=0,88 \implies x_{1}=\frac{0,88}{5,3}\approx 0,1660377\ldots
Arredondando a duas casas: x_{1}=0,17.
Resultado pelo método de Gauss com arredondamento (2 casas): x_{1}=0,17,\; x_{2}=1,00.]

Passo 4

(c) Fatoração LU (sem pivoteamento) — derivação e cálculo.
  • Para matrizes 2\times2 podemos escrever A=LU com
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12}\\[4pt] 0 & u_{22}\end{pmatrix}.
Doolittle: u_{11}=a_{11}, u_{12}=a_{12}, \ell_{21}=a_{21}/u_{11}, u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}.
  • Calculamos:
u_{11}=5,3,\qquad u_{12}=1,0,
\ell_{21}=\frac{1,4}{5,3}\approx 0,2641509433962264.
u_{22}=5,1 - \ell_{21}\cdot 1,0 = 5,1 - 0,2641509433962264 = 4,835849056603774.
Assim obtemos (mostrando com precisão suficiente)
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0,2641509434 & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}5,3 & 1,0\\[4pt] 0 & 4,8358490566\end{pmatrix}.
(Se preferir, \ell_{21} pode ser deixado exatamente como \dfrac{1,4}{5,3}.)]

Passo 5

(d) Refinamento da solução (iterative refinement) — objetivo: obter pelo menos três dígitos corretos.
Vou usar a solução obtida no Gauss com arredondamento como aproximação inicial
x^{(0)}=\begin{pmatrix}0,17\\[4pt] 1,00\end{pmatrix}.
Procedimento do refinamento:
  1. Calcular o resíduo r=b-Ax^{(0)} com aritmética em precisão normal (sem o arredondamento de 2 casas usado antes).
  2. Resolver A\delta = r (usando a fatoração LU obtida) para obter a correção \delta.
  3. Atualizar x^{(1)}=x^{(0)}+\delta.
  4. Verificar se a solução x^{(1)} já tem pelo menos três dígitos corretos; se necessário, repetir.
Cálculo do resíduo:
  • Primeiro A x^{(0)}:
A x^{(0)}=\begin{pmatrix} 5,3\cdot0,17 + 1,0\cdot1,00\\[4pt] 1,4\cdot0,17 + 5,1\cdot1,00 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0,901 + 1,00\\[4pt] 0,238 + 5,10\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1,901\\[4pt] 5,338\end{pmatrix}.
  • Resíduo
r=b-Ax^{(0)}=\begin{pmatrix}1,88\\[4pt] 5,33\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}1,901\\[4pt] 5,338\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-0,021\\[4pt] -0,008\end{pmatrix}.
Resolver A\delta=r usando LU (resolvendo L y = r e depois U\delta = y):
  1. Resolver L y = r:
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0,2641509434 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_{1}\\[4pt] y_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-0,021\\[4pt] -0,008\end{pmatrix}.
  • Da primeira equação: y_{1}=-0,021.
  • Segunda: 0,2641509434\cdot y_{1} + y_{2} = -0,008 então
y_{2} = -0,008 - 0,2641509434\cdot(-0,021).
Calcular 0,2641509434\cdot 0,021 \approx 0,0055471698, então
y_{2}\approx -0,008 + 0,0055471698 = -0,0024528302.
  1. Resolver U\delta = y:
\begin{pmatrix}5,3 & 1,0\\[4pt] 0 & 4,8358490566\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\delta_{1}\\[4pt]\delta_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-0,021\\[4pt]-0,0024528302\end{pmatrix}.
  • Da segunda equação: \delta_{2}= \dfrac{-0,0024528302}{4,8358490566}\approx -0,000507373.
  • Da primeira: 5,3\,\delta_{1} + 1,0\cdot\delta_{2} = -0,021, então
\delta_{1} = \frac{-0,021 - \delta_{2}}{5,3} \approx \frac{-0,021 - (-0,000507373)}{5,3} = \frac{-0,020492627}{5,3}\approx -0,00386879.
  1. Atualização:
x^{(1)}=x^{(0)}+\delta \approx \begin{pmatrix}0,17\\[4pt]1,00\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-0,00386879\\[4pt]-0,000507373\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0,16613121\\[4pt]0,99949263\end{pmatrix}.
Verificação rápida de dígitos corretos:
  • Compare com a solução exata (calculada separadamente com alta precisão: aproximadamente x\approx(0,16613\ldots,\,0,9994926\ldots)). A solução refinada x^{(1)} coincide nos três (e mais) primeiros dígitos significativos em ambas as componentes: x_{1}\approx0,1661\ldots e x_{2}\approx0,9994\ldots. Portanto já temos pelo menos três dígitos corretos.
Conclusão: uma única iteração de refinamento (a partir da solução arredondada de 2 casas) foi suficiente para garantir pelo menos três dígitos corretos na solução.]

Resposta

(a) Sim — solução única, pois \det(A)=25,63\neq 0.
(b) Solução pelo método de Gauss com arredondamento a 2 casas: \;x_{1}=0,17,\;x_{2}=1,00.
(c) Fatoração LU:
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0,2641509434 & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}5,3 & 1,0\\[4pt]0 & 4,8358490566\end{pmatrix}.
(d) Solução refinada (pelo refinamento mostrado): \displaystyle x\approx\begin{pmatrix}0,16613121\\[4pt]0,99949263\end{pmatrix} (pelo menos três dígitos corretos).]

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