Considere o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}-6 \alpha x_{2}=3 \\\\ 3 \alpha x_{1}-x_{2}=\frac{3}{2} \end{array}\right.
(a) Determine os valores de \alpha para os quais o sistema não possui solução.
(b) Determine os valores de \alpha para os quais o sistema possui um número infinito de soluções.
(c) Supondo que exista uma solução única para um dado \alpha, determine essa solução.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear com parâmetro \alpha:
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}-6 \alpha x_{2}=3 \\\\ 3 \alpha x_{1}-x_{2}=\dfrac{3}{2} \end{array}\right.
O que é pedido:
  • (a) Determinar os valores de \alpha para os quais o sistema não possui solução.
  • (b) Determinar os valores de \alpha para os quais o sistema possui um número infinito de soluções.
  • (c) Supondo que exista solução única para um dado \alpha, encontrar essa solução.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • As incógnitas são x_{1} e x_{2}.
  • O parâmetro arbitrário é \alpha.
  • Tratar-se de um sistema 2\times2, portanto podemos estudar o determinante da matriz de coeficientes e usar Cramer para o caso de determinante não-nulo, ou comparar linhas das matrizes (coeficientes vs. aumentada) quando o determinante for zero.

Passo 2

Primeiro organizo a matriz dos coeficientes A e o determinante associado. A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 2 & -6\alpha\\[4pt] 3\alpha & -1 \end{pmatrix}.
Para uma matriz 2\times2 a definição do determinante é simples: se
M=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
então
\det(M)=ad-bc.
Interpretação prática (essa é uma ideia importante para a prova):
  • Se \det(A)\neq 0 então o sistema tem solução única e podemos aplicar a Regra de Cramer.
  • Se \det(A)=0 então as equações são linearmente dependentes e há duas possibilidades: ou não existe solução (sistema incompatível) ou existe um número infinito de soluções (sistema dependente e compatível). Para distinguir essas duas possibilidades devemos comparar a matriz aumentada com a matriz dos coeficientes (veremos isso nos casos específicos).]

Passo 3

Calculo o determinante de A. Usando a fórmula \det(A)=a d - b c com a=2, b=-6\alpha, c=3\alpha, d=-1, obtemos:
\det(A)=2\cdot(-1)-(-6\alpha)\cdot(3\alpha)=-2-(-18\alpha^{2})=-2+18\alpha^{2}=18\alpha^{2}-2.
Agora procuro os valores de \alpha que fazem \det(A)=0. Resolvo
18\alpha^{2}-2=0.
Dividindo por 2:
9\alpha^{2}-1=0.
Isto é uma diferença de quadrados:
(3\alpha-1)(3\alpha+1)=0.
Portanto as soluções são
\alpha=\dfrac{1}{3}\quad\text{ou}\quad \alpha=-\dfrac{1}{3}.

Passo 4

Concluo os casos gerais a partir do determinante:
  • Se \alpha\neq \pm\dfrac{1}{3} então \det(A)\neq 0 e o sistema tem solução única.
  • Se \alpha=\pm\dfrac{1}{3} então \det(A)=0 e devemos analisar compatibilidade caso a caso (vai aparecer ou infinidade de soluções ou ausência de soluções).
Agora vou calcular explicitamente a solução quando ela é única ( \alpha\neq \pm\dfrac{1}{3}). Uso a Regra de Cramer para sistemas 2\times2. Seja D=\det(A). Seja D_{1} o determinante da matriz obtida substituindo a primeira coluna por termos independentes e D_{2} o determinante substituindo a segunda coluna. Então
x_{1}=\dfrac{D_{1}}{D},\qquad x_{2}=\dfrac{D_{2}}{D}.
A matriz aumentada (para ver como obter D_{1},D_{2}) tem segunda coluna os coeficientes e o vetor dos termos independentes é \begin{pmatrix}3\\[4pt]3/2\end{pmatrix}.
Calculo D que já achei:
D=18\alpha^{2}-2.
Calculo D_{1} (substituo primeira coluna por \begin{pmatrix}3\\[4pt]3/2\end{pmatrix}):
D_{1}=\det\begin{pmatrix}3 & -6\alpha\\[4pt]3/2 & -1\end{pmatrix} =3\cdot(-1)-(-6\alpha)\cdot\frac{3}{2}=-3-(-9\alpha)=9\alpha-3.
Calculo D_{2} (substituo segunda coluna):
D_{2}=\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]3\alpha & 3/2\end{pmatrix} =2\cdot\frac{3}{2}-3\cdot(3\alpha)=3-9\alpha.
Logo, para \alpha\neq \pm\dfrac{1}{3},
x_{1}=\dfrac{9\alpha-3}{18\alpha^{2}-2},\qquad x_{2}=\dfrac{3-9\alpha}{18\alpha^{2}-2}.]

Passo 5

Vou simplificar essas expressões; às vezes na prova a forma simplificada facilita. Observe que podemos fatorar numeradores e denominador:
9\alpha-3=3(3\alpha-1),\qquad 3-9\alpha=3(1-3\alpha)=-3(3\alpha-1),
e
18\alpha^{2}-2=2(9\alpha^{2}-1)=2(3\alpha-1)(3\alpha+1).
Como estamos no caso \alpha\neq \pm\dfrac{1}{3}, então 3\alpha-1\neq 0 e podemos cancelar esse fator comum. Assim:
x_{1}=\dfrac{3(3\alpha-1)}{2(3\alpha-1)(3\alpha+1)}=\dfrac{3}{2(3\alpha+1)},
x_{2}=\dfrac{-3(3\alpha-1)}{2(3\alpha-1)(3\alpha+1)}=-\dfrac{3}{2(3\alpha+1)}.
Portanto, quando existe solução única ( \alpha\neq \pm\dfrac{1}{3}), a solução é
x_{1}=\dfrac{3}{2(3\alpha+1)},\qquad x_{2}=-\dfrac{3}{2(3\alpha+1)}.

Passo 6

Agora trato os casos singulares \alpha=\dfrac{1}{3} e \alpha=-\dfrac{1}{3} separadamente para verificar compatibilidade.
Caso \alpha=\dfrac{1}{3}. Substituo nas equações originais:
2x_{1}-6\cdot\frac{1}{3}x_{2}=3\quad\Rightarrow\quad 2x_{1}-2x_{2}=3,
3\cdot\frac{1}{3}x_{1}-x_{2}=\frac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad x_{1}-x_{2}=\frac{3}{2}.
Multiplicando a segunda equação por 2 obtém-se 2x_{1}-2x_{2}=3, que é exatamente a primeira equação. Assim as duas equações são proporcionais e consistentes: o sistema reduz-se a uma única equação x_{1}-x_{2}=\dfrac{3}{2} com duas incógnitas livres. Conclusão: para \alpha=\dfrac{1}{3} o sistema tem infinitas soluções. Uma parametrização simples é, por exemplo, tomar x_{2}=t (parâmetro livre) e então
x_{1}=t+\frac{3}{2},\qquad t\in\mathbb{R}.
Caso \alpha=-\dfrac{1}{3}. Substituo:
2x_{1}-6\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)x_{2}=3\quad\Rightarrow\quad 2x_{1}+2x_{2}=3,
3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)x_{1}-x_{2}=\frac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad -x_{1}-x_{2}=\frac{3}{2}.
A primeira equação, dividida por 2, é x_{1}+x_{2}=\dfrac{3}{2}, enquanto a segunda é x_{1}+x_{2}=-\dfrac{3}{2} (mudando de sinal). Essas duas afirmações são contraditórias: não existe par (x_{1},x_{2}) que satisfaça ambas simultaneamente. Conclusão: para \alpha=-\dfrac{1}{3} o sistema é incompatível e não possui solução.

Resposta

(a) \alpha=-\dfrac{1}{3}
(b) \alpha=\dfrac{1}{3}
(c) Para \alpha\neq \pm\dfrac{1}{3}: \displaystyle x_{1}=\dfrac{3}{2(3\alpha+1)}, \displaystyle x_{2}=-\dfrac{3}{2(3\alpha+1)}

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