(a) Determine os valores de \alpha para os quais o sistema não possui solução.
(b) Determine os valores de \alpha para os quais o sistema possui um número infinito de soluções.
(c) Supondo que exista uma solução única para um dado \alpha, determine essa solução.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema linear com parâmetro \alpha:
(a) Determinar os valores de \alpha para os quais o sistema não possui solução.
(b) Determinar os valores de \alpha para os quais o sistema possui um número infinito de soluções.
(c) Supondo que exista solução única para um dado \alpha, encontrar essa solução.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
As incógnitas são x_{1} e x_{2}.
O parâmetro arbitrário é \alpha.
Tratar-se de um sistema 2\times2, portanto podemos estudar o determinante da matriz de coeficientes e usar Cramer para o caso de determinante não-nulo, ou comparar linhas das matrizes (coeficientes vs. aumentada) quando o determinante for zero.
Passo 2
Primeiro organizo a matriz dos coeficientes A e o determinante associado. A matriz dos coeficientes é
Para uma matriz 2\times2 a definição do determinante é simples: se
M=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
então
\det(M)=ad-bc.
Interpretação prática (essa é uma ideia importante para a prova):
Se \det(A)\neq 0 então o sistema tem solução única e podemos aplicar a Regra de Cramer.
Se \det(A)=0 então as equações são linearmente dependentes e há duas possibilidades: ou não existe solução (sistema incompatível) ou existe um número infinito de soluções (sistema dependente e compatível). Para distinguir essas duas possibilidades devemos comparar a matriz aumentada com a matriz dos coeficientes (veremos isso nos casos específicos).]
Passo 3
Calculo o determinante de A. Usando a fórmula \det(A)=a d - b c com a=2, b=-6\alpha, c=3\alpha, d=-1, obtemos:
Se \alpha\neq \pm\dfrac{1}{3} então \det(A)\neq 0 e o sistema tem solução única.
Se \alpha=\pm\dfrac{1}{3} então \det(A)=0 e devemos analisar compatibilidade caso a caso (vai aparecer ou infinidade de soluções ou ausência de soluções).
Agora vou calcular explicitamente a solução quando ela é única (\alpha\neq \pm\dfrac{1}{3}). Uso a Regra de Cramer para sistemas 2\times2. Seja D=\det(A). Seja D_{1} o determinante da matriz obtida substituindo a primeira coluna por termos independentes e D_{2} o determinante substituindo a segunda coluna. Então
A matriz aumentada (para ver como obter D_{1},D_{2}) tem segunda coluna os coeficientes e o vetor dos termos independentes é \begin{pmatrix}3\\[4pt]3/2\end{pmatrix}.
Calculo D que já achei:
D=18\alpha^{2}-2.
Calculo D_{1} (substituo primeira coluna por \begin{pmatrix}3\\[4pt]3/2\end{pmatrix}):
Multiplicando a segunda equação por 2 obtém-se 2x_{1}-2x_{2}=3, que é exatamente a primeira equação. Assim as duas equações são proporcionais e consistentes: o sistema reduz-se a uma única equação x_{1}-x_{2}=\dfrac{3}{2} com duas incógnitas livres. Conclusão: para \alpha=\dfrac{1}{3} o sistema tem infinitas soluções. Uma parametrização simples é, por exemplo, tomar x_{2}=t (parâmetro livre) e então
A primeira equação, dividida por 2, é x_{1}+x_{2}=\dfrac{3}{2}, enquanto a segunda é x_{1}+x_{2}=-\dfrac{3}{2} (mudando de sinal). Essas duas afirmações são contraditórias: não existe par (x_{1},x_{2}) que satisfaça ambas simultaneamente. Conclusão: para \alpha=-\dfrac{1}{3} o sistema é incompatível e não possui solução.