O enunciado pede para analisar o sistema linear abaixo quanto ao número de soluções, usando o método da Eliminação de Gauss e trabalhando com três casas decimais:
Temos 4 equações lineares homogêneas à direita com constantes específicas (não homogêneas no sentido clássico porque RHS não é zero).
Deve-se aplicar Eliminação de Gauss (operações elementares entre linhas) e trabalhar com três casas decimais quando necessário.
O que é pedido implicitamente:
Determinar se o sistema é consistente (tem solução) ou inconsistente (nenhuma solução).
Caso consistente, decidir se a solução é única ou infinita e, se possível, apresentar a solução geral (paramétrica).
Passo 2
Coloco o sistema na forma de matriz aumentada para aplicar Eliminação de Gauss. A matriz aumentada inicial é:
Explicação rápida sobre o que faremos: a Eliminação de Gauss usa operações elementares entre linhas (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para transformar a matriz em uma forma triangular (escalonada). Depois, fazemos substituição regressiva para achar as variáveis. Em cada passo vou mostrar a operação e a nova matriz; quando houver números não inteiros, mantemos três casas decimais conforme pedido.]
Passo 3
Eliminação do primeiro elemento de baixo (coluna 1), usando a_{11}=3 como pivô.
Observação: as colunas 1 e 2 agora têm pivôs apenas na linha 1 e a coluna 2 está nula nas linhas 2–4; isso indica que a variável x_2 pode acabar sendo livre. Prosseguimos eliminando abaixo do pivô da coluna 3. Tomamos como pivô a_{23}=2 (linha 2, coluna 3).
Multiplicadores para eliminar a coluna 3 nas linhas 3 e 4:
Agora temos pivô em a_{34}=-8 (linha 3, coluna 4). Usamos esse pivô para eliminar o elemento abaixo na mesma coluna (linha 4, coluna 4). Calculamos o multiplicador:
Não apareceu nenhuma linha do tipo (0,0,0,0 \mid c) com c\neq 0. Logo não há contradição; o sistema é consistente (tem pelo menos uma solução).
Há 3 linhas não-nulas (pivôs) e 4 incógnitas. O posto da matriz dos coeficientes é \mathrm{rank}=3 (há três pivôs: colunas 1, 3 e 4 atuam como pivôs na forma escalonada), e o número de incógnitas é n=4. Como \mathrm{rank}<n, o sistema possui infinitas soluções com n-\mathrm{rank}=1 grau de liberdade (uma parâmetro livre).
Explicação didática: o número de soluções de um sistema linear é determinado pelo posto (rank) da matriz dos coeficientes e pelo posto da matriz aumentada. Se os dois postos forem diferentes o sistema é inconsistente; se iguais e igual ao número de incógnitas, há solução única; se iguais e menor que o número de incógnitas, há infinitas soluções com n-\mathrm{rank} parâmetros livres.
Passo 7
Agora fazemos substituição regressiva para obter a solução em forma paramétrica. A partir da matriz escalonada interpretamos as equações correspondentes:
Essa última equação relaciona x_{1} e x_{2} deixando um grau de liberdade. Tomamos x_{2} como parâmetro livre. Seja t\in\mathbb{R} e defina x_{2}=t. Então: