Analise o sistema linear abaixo com relação ao número de soluções, usando o método da Eliminação de Gauss (trabalhe com três casas decimais):
\left\{\begin{array}{l} 3 x_{1}-2 x_{2}+5 x_{3}+x_{4}=7 \\\\ -6 x_{1}+4 x_{2}-8 x_{3}+x_{4}=-9 \\\\ 9 x_{1}-6 x_{2}+19 x_{3}+x_{4}=23 \\\\ 6 x_{1}-4 x_{2}-6 x_{3}+15 x_{4}=11 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para analisar o sistema linear abaixo quanto ao número de soluções, usando o método da Eliminação de Gauss e trabalhando com três casas decimais:
\left\{\begin{array}{l} 3 x_{1}-2 x_{2}+5 x_{3}+x_{4}=7 \\\\ -6 x_{1}+4 x_{2}-8 x_{3}+x_{4}=-9 \\\\ 9 x_{1}-6 x_{2}+19 x_{3}+x_{4}=23 \\\\ 6 x_{1}-4 x_{2}-6 x_{3}+15 x_{4}=11 \end{array}\right.
Informações relevantes dadas:
  • Temos 4 variáveis: x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
  • Temos 4 equações lineares homogêneas à direita com constantes específicas (não homogêneas no sentido clássico porque RHS não é zero).
  • Deve-se aplicar Eliminação de Gauss (operações elementares entre linhas) e trabalhar com três casas decimais quando necessário.
    O que é pedido implicitamente:
  • Determinar se o sistema é consistente (tem solução) ou inconsistente (nenhuma solução).
  • Caso consistente, decidir se a solução é única ou infinita e, se possível, apresentar a solução geral (paramétrica).

Passo 2

Coloco o sistema na forma de matriz aumentada para aplicar Eliminação de Gauss. A matriz aumentada inicial é:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 3 & -2 & 5 & 1 & 7\\[4pt] -6 & 4 & -8 & 1 & -9\\[4pt] 9 & -6 & 19 & 1 & 23\\[4pt] 6 & -4 & -6 & 15 & 11 \end{array}\right]
Explicação rápida sobre o que faremos: a Eliminação de Gauss usa operações elementares entre linhas (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para transformar a matriz em uma forma triangular (escalonada). Depois, fazemos substituição regressiva para achar as variáveis. Em cada passo vou mostrar a operação e a nova matriz; quando houver números não inteiros, mantemos três casas decimais conforme pedido.]

Passo 3

Eliminação do primeiro elemento de baixo (coluna 1), usando a_{11}=3 como pivô.
Multiplicadores:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{-6}{3}=-2,\quad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{9}{3}=3,\quad m_{41}=\frac{a_{41}}{a_{11}}=\frac{6}{3}=2.
Aplicando R_2\leftarrow R_2 - m_{21}R_1 = R_2 +2R_1, R_3\leftarrow R_3 - m_{31}R_1 = R_3 -3R_1, R_4\leftarrow R_4 - m_{41}R_1 = R_4 -2R_1.
Calculemos cada nova linha (aqui todos os resultados são inteiros, então não há necessidade de arredondar):
  • Nova R_2: ( -6,4,-8,1,-9 ) + 2(3,-2,5,1,7) = (0,0,2,3,5).
  • Nova R_3: (9,-6,19,1,23) -3(3,-2,5,1,7) = (0,0,4,-2,2).
  • Nova R_4: (6,-4,-6,15,11) -2(3,-2,5,1,7) = (0,0,-16,13,-3).
A matriz aumentada após essas operações:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 3 & -2 & 5 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 3 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 4 & -2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -16 & 13 & -3 \end{array}\right]]

Passo 4

Observação: as colunas 1 e 2 agora têm pivôs apenas na linha 1 e a coluna 2 está nula nas linhas 2–4; isso indica que a variável x_2 pode acabar sendo livre. Prosseguimos eliminando abaixo do pivô da coluna 3. Tomamos como pivô a_{23}=2 (linha 2, coluna 3).
Multiplicadores para eliminar a coluna 3 nas linhas 3 e 4:
m_{32}=\frac{a_{33}}{a_{23}}=\frac{4}{2}=2,\qquad m_{42}=\frac{a_{43}}{a_{23}}=\frac{-16}{2}=-8.
Aplicamos R_3\leftarrow R_3 - m_{32}R_2 e R_4\leftarrow R_4 - m_{42}R_2.
Cálculos:
  • R_3 - 2R_2 = (0,0,4,-2,2) -2(0,0,2,3,5) = (0,0,0,-8,-8).
  • R_4 - (-8)R_2 = R_4 +8R_2 = (0,0,-16,13,-3) +8(0,0,2,3,5) = (0,0,0,37,37).
Matriz agora:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 3 & -2 & 5 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 3 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -8 & -8\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 37 & 37 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora temos pivô em a_{34}=-8 (linha 3, coluna 4). Usamos esse pivô para eliminar o elemento abaixo na mesma coluna (linha 4, coluna 4). Calculamos o multiplicador:
m_{43}=\frac{a_{44}}{a_{34}}=\frac{37}{-8}=-4{,}625.
De acordo com o enunciado, trabalhamos com três casas decimais, então registramos m_{43}=-4{,}625 (três casas decimais).
Aplicamos R_4 \leftarrow R_4 - m_{43} R_3. Como m_{43}=-4{,}625, isso é equivalente a R_4 \leftarrow R_4 +4{,}625\,R_3.
Cálculo (podemos verificar exatamente):
R_4 + 4{,}625 \,R_3 = (0,0,0,37,37) + 4{,}625(0,0,0,-8,-8).
O produto 4{,}625\cdot(-8) = -37 (exatamente), então:
  • nova entrada na coluna 4: 37 + (-37) = 0.
  • novo RHS: 37 + (-37) = 0.
Portanto a nova linha 4 vira a linha nula (0,0,0,0|0).
Matriz escalonada final (forma triangular) é:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 3 & -2 & 5 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 3 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -8 & -8\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]]

Passo 6

Interpretação da matriz escalonada:
  • Não apareceu nenhuma linha do tipo (0,0,0,0 \mid c) com c\neq 0. Logo não há contradição; o sistema é consistente (tem pelo menos uma solução).
  • 3 linhas não-nulas (pivôs) e 4 incógnitas. O posto da matriz dos coeficientes é \mathrm{rank}=3 (há três pivôs: colunas 1, 3 e 4 atuam como pivôs na forma escalonada), e o número de incógnitas é n=4. Como \mathrm{rank}<n, o sistema possui infinitas soluções com n-\mathrm{rank}=1 grau de liberdade (uma parâmetro livre).
Explicação didática: o número de soluções de um sistema linear é determinado pelo posto (rank) da matriz dos coeficientes e pelo posto da matriz aumentada. Se os dois postos forem diferentes o sistema é inconsistente; se iguais e igual ao número de incógnitas, há solução única; se iguais e menor que o número de incógnitas, há infinitas soluções com n-\mathrm{rank} parâmetros livres.

Passo 7

Agora fazemos substituição regressiva para obter a solução em forma paramétrica. A partir da matriz escalonada interpretamos as equações correspondentes:
Linha 3 dá:
0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}-8x_{4}=-8.
Logo,
-8x_{4}=-8\quad\Rightarrow\quad x_{4}=1.
Linha 2 dá:
0x_{1}+0x_{2}+2x_{3}+3x_{4}=5.
Substituindo x_{4}=1:
2x_{3}+3\cdot 1 =5 \quad\Rightarrow\quad 2x_{3}=2 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=1.
Linha 1 dá:
3x_{1}-2x_{2}+5x_{3}+x_{4}=7.
Substituindo x_{3}=1 e x_{4}=1:
3x_{1}-2x_{2}+5\cdot 1 +1 =7 \quad\Rightarrow\quad 3x_{1}-2x_{2}+6=7.
Portanto
3x_{1}-2x_{2}=1.
Essa última equação relaciona x_{1} e x_{2} deixando um grau de liberdade. Tomamos x_{2} como parâmetro livre. Seja t\in\mathbb{R} e defina x_{2}=t. Então:
3x_{1}-2t=1 \quad\Rightarrow\quad 3x_{1}=1+2t \quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{1+2t}{3}.

Passo 8

Escrevemos a solução geral (paramétrica) organizada e comentamos a liberdade:
x_{1}=\frac{1+2t}{3},\quad x_{2}=t,\quad x_{3}=1,\quad x_{4}=1,\qquad t\in\mathbb{R}.
Ou em forma vetorial:
\begin{aligned} (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) &=\left(\frac{1}{3},0,1,1\right) + t\left(\frac{2}{3},1,0,0\right),\quad t\in\mathbb{R}. \end{aligned}
Comentário final: há infinitas soluções parâtrizadas por uma variável t. O espaço de soluções é uma reta affine no \mathbb{R}^{4}.

Resposta

O sistema tem infinitas soluções.
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=\left(\frac{1+2t}{3},\,t,\,1,\,1\right),\quad t\in\mathbb{R}.

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