Para as matrizes A abaixo, decomponha cada matriz na forma L U, onde L é uma matriz unitriangular inferior e U é uma matriz triangular superior. Caso seja preciso permutar linhas multiplicando A por uma matriz de permutação P, de maneira que P A=L U, exiba a matriz P.
na forma L U, onde L é unitriangular inferior (diagonal principal com 1s) e U é triangular superior. Se for necessário permutar linhas para evitar pivôs nulos, devemos encontrar uma matriz de permutação P tal que
P A = L U.
Informações fornecidas:
A matriz A é 3\times3.
O elemento (1,1) de A é 0, o que impede diretamente aplicar eliminação com pivô nessa posição sem permutar linhas.
Passo 2
Por que permutar?
Para fazer decomposição LU usando eliminação de Gauss sem divisão por zero, o pivô (elemento da diagonal) em cada etapa não pode ser zero. Como A_{11}=0, vamos permutar linhas para trazer um elemento não nulo para a posição (1,1). A permutação mínima é trocar a linha 1 com a linha 2. A matriz de permutação que troca as linhas 1 e 2 é
B = P A = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & 2 & 3 \\\\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right).
Passo 4
Agora fazemos eliminação de Gauss em B para obter U; os multiplicadores usados formam L.
Primeira etapa (pivô em (1,1)): o pivô é b_{11}=1. Eliminamos os elementos abaixo na coluna 1:
b_{21}=0 já é zero, então o multiplicador l_{21}=0.
b_{31}=0 já é zero, então o multiplicador l_{31}=0.
Verificação rápida (opcional, mas reconfortante): multiplicando L U,
L U = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & 2 & 3 \\\\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right)=B=P A,
confirmando que P A = L U.
Passo 7
Conclusão: foi necessário permutar as linhas 1 e 2 de A com a matriz P. Após a permutação, a eliminação direta fornece L e U acima, satisfeitas a relação P A = L U. Boa! Isso é exatamente o procedimento que se usa na prova quando aparece um pivô zero: trocar linhas (usar P) e continuar a eliminação normalmente.