Use eliminação gaussiana e aritmética com arredondamento para dois dígitos para resolver os seguintes sistemas lineares. Não reordene as equações. (A solução exata de cada sistema é x_{1}=1, x_{2}=-1, x_{3}=3.)
\left\{\begin{array}{l} 4 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=9 \\\\ 2 x_{1}+4 x_{2}-x_{3}=-5 \\\ x_{1}+x_{2}-3 x_{3}=-9 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método da eliminação gaussiana, o sistema linear abaixo usando aritmética com arredondamento para dois dígitos (sem reordenar equações). O sistema é:
\left\{\begin{array}{l} 4 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=9, \\\\ 2 x_{1}+4 x_{2}-x_{3}=-5, \\\ x_{1}+x_{2}-3 x_{3}=-9. \end{array}\right.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • Deve-se aplicar eliminação gaussiana sem trocar linhas.
  • A cada operação aritmética vamos arredondar os resultados para duas casas decimais (duas casas decimais após a vírgula). Vou explicitar cada arredondamento.
  • A solução exata é \\ x_{1}=1,\\ x_{2}=-1,\\ x_{3}=3\ (isso foi informado; o objetivo aqui é ver como a solução aproximada sai quando se arredonda durante o processo).

Passo 2

Primeiro é útil escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 1 & 2 & 9\\[4pt] 2 & 4 & -1 & -5\\[4pt] 1 & 1 & -3 & -9 \end{array}\right].
Explicação rápida (o que vamos fazer): com eliminação gaussiana transformamos a matriz em forma triangular superior usando operações do tipo R_i \leftarrow R_i - m_{i1}R_1 etc., onde m_{ij} são multiplicadores. Depois faz-se substituição regressiva (back substitution). Em cada cálculo numérico aplicarei arredondamento para duas casas decimais.]

Passo 3

Eliminação do elemento abaixo de a_{11} (zerar as entradas da coluna 1 nas linhas 2 e 3).
Calculam-se os multiplicadores:
m_{21}=\frac{2}{4}=0{,}5\\ \rightarrow\\ \text{arredondado: }0{,}50, \qquad m_{31}=\frac{1}{4}=0{,}25\\ \rightarrow\\ \text{arredondado: }0{,}25.
Comentário: m_{i1} é o número que multiplica a primeira linha para anular o primeiro coeficiente da linha i.

Passo 4

Aplicar R_2 \leftarrow R_2 - m_{21}R_1. Faço cada entrada com arredondamento a cada operação:
  • Nova entrada (2,1): 2 - 0{,}50\cdot 4 = 2 - 2 = 0.
  • Nova entrada (2,2): 4 - 0{,}50\cdot 1 = 4 - 0{,}50 = 3{,}50.
  • Nova entrada (2,3): -1 - 0{,}50\cdot 2 = -1 - 1 = -2{,}00.
  • Novo termo independente: -5 - 0{,}50\cdot 9 = -5 - 4{,}50 = -9{,}50.
Portanto a linha 2 fica [\,0\;\;3{,}50\;\;-2{,}00\;\;|\;\;-9{,}50\,].

Passo 5

Aplicar R_3 \leftarrow R_3 - m_{31}R_1. Cálculos com arredondamento:
  • Nova entrada (3,1): 1 - 0{,}25\cdot 4 = 1 - 1 = 0.
  • Nova entrada (3,2): 1 - 0{,}25\cdot 1 = 1 - 0{,}25 = 0{,}75.
  • Nova entrada (3,3): -3 - 0{,}25\cdot 2 = -3 - 0{,}50 = -3{,}50.
  • Novo termo independente: -9 - 0{,}25\cdot 9 = -9 - 2{,}25 = -11{,}25.
Portanto a linha 3 fica [\,0\;\;0{,}75\;\;-3{,}50\;\;|\;\;-11{,}25\,].
A matriz aumentada agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 1 & 2 & 9\\[4pt] 0 & 3{,}50 & -2{,}00 & -9{,}50\\[4pt] 0 & 0{,}75 & -3{,}50 & -11{,}25 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora queremos zerar o elemento (3,2) usando a linha 2 como pivô. Calcula-se o multiplicador
m_{32}=\frac{0{,}75}{3{,}50}=0{,}2142857\ldots \\ \rightarrow\\ \text{arredondado: }0{,}21.
Explicação: m_{32} é o número que multiplica a linha 2 para subtraí-la da linha 3 e anular a entrada na coluna 2 da linha 3.

Passo 7

Aplicar R_3 \leftarrow R_3 - m_{32}R_2. Faço cada multiplicação e subtração com arredondamento a duas casas:
  • Multiplicação m_{32}\cdot a_{22}: 0{,}21\cdot 3{,}50 = 0{,}735 \rightarrow 0{,}74.
  • Nova entrada (3,2): 0{,}75 - 0{,}74 = 0{,}01 (arredondado fica 0{,}01; este valor deveria ser zero na aritmética exata, aqui é resíduo do arredondamento).
  • Multiplicação m_{32}\cdot a_{23}: 0{,}21\cdot (-2{,}00) = -0{,}42 \rightarrow -0{,}42.
  • Nova entrada (3,3): -3{,}50 - (-0{,}42) = -3{,}50 + 0{,}42 = -3{,}08 (arredondado: -3{,}08).
  • Multiplicação m_{32}\cdot b_{2}: 0{,}21\cdot (-9{,}50) = -1{,}995 \rightarrow -2{,}00.
  • Novo termo independente b_3: -11{,}25 - (-2{,}00) = -11{,}25 + 2{,}00 = -9{,}25 \rightarrow ao arredondar novamente para duas casas, fica -9{,}26 (note que somas/subtrações também são arredondadas).
Após essa operação a linha 3 fica aproximadamente [\,0\;\;0{,}01\;\;-3{,}08\;\;|\;\;-9{,}26\,].

Passo 8

Agora já temos uma matriz aproximadamente triangular superior (com um pequeno resíduo em (3,2) devido ao arredondamento). Para proceder faço substituição regressiva. A forma triangular é aproximadamente:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 1 & 2 & 9\\[4pt] 0 & 3{,}50 & -2{,}00 & -9{,}50\\[4pt] 0 & 0{,}01 & -3{,}08 & -9{,}26 \end{array}\right].
Explicação da substituição regressiva: resolve-se primeiro x_{3} a partir da última equação, depois x_{2} usando x_{3}, e por fim x_{1}.]

Passo 9

Calcular x_{3} a partir da linha 3:
x_{3}=\frac{-9{,}26}{-3{,}08}=3{,}0064935\ldots \\ \rightarrow\\ \text{arredondado: }x_{3}=3{,}01.
(Arredondei o resultado final de divisão para duas casas decimais.)

Passo 10

Calcular x_{2} a partir da linha 2 usando o valor aproximado de x_{3}:
A equação da linha 2 é 3{,}50 x_{2} -2{,}00 x_{3} = -9{,}50.
  • Primeiro calcule -2{,}00\cdot x_{3} = -2{,}00\cdot 3{,}01 = -6{,}02 (arredondado).
  • Depois calcule o numerador: -9{,}50 - (-6{,}02) = -9{,}50 + 6{,}02 = -3{,}48.
  • Finalmente x_{2} = \dfrac{-3{,}48}{3{,}50} = -0{,}9942857\ldots \rightarrow\\ \text{arredondado: }x_{2}=-0{,}99.

Passo 11

Calcular x_{1} a partir da primeira equação usando x_{2} e x_{3}:
A equação da linha 1 é 4 x_{1} + 1\cdot x_{2} + 2\cdot x_{3} = 9.
  • Calcule 1\cdot x_{2} = -0{,}99.
  • Calcule 2\cdot x_{3} = 2\cdot 3{,}01 = 6{,}02.
  • Numerador: 9 - (-0{,}99) - 6{,}02 = 9 + 0{,}99 - 6{,}02 = 3{,}97.
  • Então x_{1} = \dfrac{3{,}97}{4} = 0{,}9925 \rightarrow\\ \text{arredondado: }x_{1}=0{,}99.

Passo 12

Comentário final e comparação rápida: com arredondamento para duas casas em cada operação, a solução numérica obtida por eliminação gaussiana sem reordenação é aproximadamente
x_{1}=0{,}99,\qquad x_{2}=-0{,}99,\qquad x_{3}=3{,}01,
que está bem próximo da solução exata \\ (1,\,-1,\,3)\, mostrando como os arredondamentos introduzem pequenos erros, mas o método ainda fornece aproximações corretas.

Resposta

x_{1}=0{,}99
x_{2}=-0{,}99
x_{3}=3{,}01

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