Use eliminação gaussiana e aritmética com arredondamento para dois dígitos para resolver os seguintes sistemas lineares. Não reordene as equações. (A solução exata de cada sistema é x_{1}=1, x_{2}=-1, x_{3}=3.)
O enunciado pede para resolver, pelo método da eliminação gaussiana, o sistema linear abaixo usando aritmética com arredondamento para dois dígitos (sem reordenar equações). O sistema é:
Deve-se aplicar eliminação gaussiana sem trocar linhas.
A cada operação aritmética vamos arredondar os resultados para duas casas decimais (duas casas decimais após a vírgula). Vou explicitar cada arredondamento.
A solução exata é \\ x_{1}=1,\\ x_{2}=-1,\\ x_{3}=3\ (isso foi informado; o objetivo aqui é ver como a solução aproximada sai quando se arredonda durante o processo).
Passo 2
Primeiro é útil escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada é:
Explicação rápida (o que vamos fazer): com eliminação gaussiana transformamos a matriz em forma triangular superior usando operações do tipo R_i \leftarrow R_i - m_{i1}R_1 etc., onde m_{ij} são multiplicadores. Depois faz-se substituição regressiva (back substitution). Em cada cálculo numérico aplicarei arredondamento para duas casas decimais.]
Passo 3
Eliminação do elemento abaixo de a_{11} (zerar as entradas da coluna 1 nas linhas 2 e 3).
Nova entrada (3,2): 0{,}75 - 0{,}74 = 0{,}01 (arredondado fica 0{,}01; este valor deveria ser zero na aritmética exata, aqui é resíduo do arredondamento).
Novo termo independente b_3: -11{,}25 - (-2{,}00) = -11{,}25 + 2{,}00 = -9{,}25 \rightarrow ao arredondar novamente para duas casas, fica -9{,}26 (note que somas/subtrações também são arredondadas).
Após essa operação a linha 3 fica aproximadamente [\,0\;\;0{,}01\;\;-3{,}08\;\;|\;\;-9{,}26\,].
Passo 8
Agora já temos uma matriz aproximadamente triangular superior (com um pequeno resíduo em (3,2) devido ao arredondamento). Para proceder faço substituição regressiva. A forma triangular é aproximadamente:
Então x_{1} = \dfrac{3{,}97}{4} = 0{,}9925 \rightarrow\\ \text{arredondado: }x_{1}=0{,}99.
Passo 12
Comentário final e comparação rápida: com arredondamento para duas casas em cada operação, a solução numérica obtida por eliminação gaussiana sem reordenação é aproximadamente
que está bem próximo da solução exata \\ (1,\,-1,\,3)\, mostrando como os arredondamentos introduzem pequenos erros, mas o método ainda fornece aproximações corretas.