Um laboratório químico de engenharia está monitorando a variação da temperatura de um reator ao longo do tempo, com os seguintes dados coletados experimentalmente:
\begin{array}{lllll}\text { Tempo (s) } & 10 & 15 & 20 & 30\end{array}
Temperatura \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) 25,232,141,760,5
a) Encontre o polinômio interpolador de Newton que estima a temperatura em função do tempo.
b) Use o polinômio para estimar a temperatura no instante t=25 s, com 4 casas decimais.
c) Justifique, com base no processo de construção e eficiência computacional, se o método de Newton seria preferível ao método de Lagrange neste caso prático.
d) Com o apoio de ferramentas computacionais, represente graficamente os seguintes elementos em um único gráfico:
  • Os pontos originais da tabela ( \mathrm{t}, \mathrm{T} );
  • A curva do polinômio interpolador no intervalo [10, 30];
  • A estimativa da temperatura em \mathrm{t}=25 \mathrm{~s}.
Inclua no gráfico uma legenda e uma breve análise interpretativa sobre o comportamento da temperatura no reator ao longo do tempo.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas, e me dá os dados experimentais do reator. Vou listar explicitamente o que é pedido e os dados que vamos usar.
  • Perguntas do enunciado:
    a) Encontrar o polinômio interpolador de Newton que estima a temperatura em função do tempo.
    b) Usar esse polinômio para estimar a temperatura em t=25 s (com 4 casas decimais).
    c) Justificar, com base no processo de construção e eficiência computacional, se o método de Newton seria preferível ao método de Lagrange neste caso prático.
    d) Com apoio computacional, representar num único gráfico: os pontos originais (t,T), a curva do polinômio no intervalo [10,30] e a estimativa em t=25 s; incluir legenda e uma breve análise interpretativa do comportamento.
  • Dados fornecidos (vou interpretar os números usando vírgula como separador decimal, conforme o enunciado):
    \begin{array}{c|cccc} \text{Tempo }(s) & 10 & 15 & 20 & 30\\hline \text{Temperatura }(^\circ\mathrm{C}) & 25{,}2 & 32{,}1 & 41{,}7 & 60{,}5 \end{array}
Pronto — já identifiquei o que se pede e quais valores vamos usar. A partir do próximo passo começo a resolver de verdade.

Passo 2

Explicação didática do método de Newton (visão geral antes de calcular): o polinômio interpolador de Newton é construído com base em diferenças divididas. A forma geral para n+1 pontos \big(t_0,f_0\big),\dots,\big(t_n,f_n\big) é
P_n(t)=f[t_0]+f[t_0,t_1](t-t_0)+f[t_0,t_1,t_2](t-t_0)(t-t_1)+\cdots+f[t_0,\dots,t_n]\prod_{k=0}^{n-1}(t-t_k).
Aqui cada coeficiente f[\cdots] é uma diferença dividida:
  • f[t_i]=f_i (valor do ponto),
  • f[t_i,t_{i+1}]=\dfrac{f[t_{i+1}]-f[t_i]}{t_{i+1}-t_i},
  • e em geral
f[t_i,\dots,t_{i+k}]=\dfrac{f[t_{i+1},\dots,t_{i+k}]-f[t_i,\dots,t_{i+k-1}]}{t_{i+k}-t_i}.
Por que usar Newton? Porque a construção é organizada em tabela de diferenças divididas; a forma resultante permite avaliar o polinômio de maneira eficiente (usando multiplicações acumuladas no estilo de Horner) e é simples de atualizar se adicionarmos mais pontos.
Vou aplicar esse processo passo a passo aos nossos quatro pontos \big(t_0=10,f_0=25{,}2\big), \big(t_1=15,f_1=32{,}1\big), \big(t_2=20,f_2=41{,}7\big), \big(t_3=30,f_3=60{,}5\big).

Passo 3

Construção da tabela de diferenças divididas — cálculo passo a passo.
Dados iniciais:
t_0=10,\; f_0=25{,}2;\qquad t_1=15,\; f_1=32{,}1;\qquad t_2=20,\; f_2=41{,}7;\qquad t_3=30,\; f_3=60{,}5.
Primeira coluna (valores f[t_i]):
f[t_0]=25{,}2,\quad f[t_1]=32{,}1,\quad f[t_2]=41{,}7,\quad f[t_3]=60{,}5.
Primeiras diferenças divididas (ordem 1):
\begin{aligned} f[t_0,t_1]&=\dfrac{f[t_1]-f[t_0]}{t_1-t_0}=\dfrac{32{,}1-25{,}2}{15-10}=\dfrac{6{,}9}{5}=1{,}38,\\[4pt] f[t_1,t_2]&=\dfrac{41{,}7-32{,}1}{20-15}=\dfrac{9{,}6}{5}=1{,}92,\\[4pt] f[t_2,t_3]&=\dfrac{60{,}5-41{,}7}{30-20}=\dfrac{18{,}8}{10}=1{,}88. \end{aligned}
Segundas diferenças divididas (ordem 2):
\begin{aligned} f[t_0,t_1,t_2]&=\dfrac{f[t_1,t_2]-f[t_0,t_1]}{t_2-t_0}=\dfrac{1{,}92-1{,}38}{20-10}=\dfrac{0{,}54}{10}=0{,}054,\\[4pt] f[t_1,t_2,t_3]&=\dfrac{f[t_2,t_3]-f[t_1,t_2]}{t_3-t_1}=\dfrac{1{,}88-1{,}92}{30-15}=\dfrac{-0{,}04}{15}=-0{,}002666666666\ldots \end{aligned}
Terceira diferença dividida (ordem 3):
f[t_0,t_1,t_2,t_3]=\dfrac{f[t_1,t_2,t_3]-f[t_0,t_1,t_2]}{t_3-t_0}=\dfrac{-0{,}002666666666\ldots-0{,}054}{30-10}=\dfrac{-0{,}056666666666\ldots}{20}=-0{,}002833333333\ldots
Resumo dos coeficientes (arredondando apenas para leitura; usarei os valores exatos decimais repetidos quando necessário):
\begin{aligned} f[t_0]&=25{,}2,\\\ f[t_0,t_1]&=1{,}38,\\\ f[t_0,t_1,t_2]&=0{,}054,\\\ f[t_0,t_1,t_2,t_3]&=-0{,}002833333333\ldots \end{aligned}]

Passo 4

Escrever explicitamente o polinômio interpolador de Newton com os coeficientes calculados.
A forma (para os nossos 4 pontos) é
\begin{aligned} P_3(t)=&\;f[t_0]+f[t_0,t_1](t-t_0)+f[t_0,t_1,t_2](t-t_0)(t-t_1)\\\ &\;+f[t_0,t_1,t_2,t_3](t-t_0)(t-t_1)(t-t_2). \end{aligned}
Substituindo os coeficientes e os nós t_0=10, t_1=15, t_2=20:
\boxed{% P_3(t)=25{,}2+1{,}38\,(t-10)+0{,}054\,(t-10)(t-15)-0{,}002833333333\,(t-10)(t-15)(t-20).}
Isso responde a letra (a): este é o polinômio interpolador de Newton em forma explícita (base Newton).

Passo 5

Avaliar o polinômio em t=25 — explicação didática e cálculo passo a passo (letra b).
Para avaliar P_3(25) calculo os fatores intermediários:
\begin{aligned} t-10&=25-10=15,\\\ t-15&=25-15=10,\\\ t-20&=25-20=5. \end{aligned}
Agora cada termo do polinômio:
\begin{aligned} \text{Termo }0 &=25{,}2,\\[4pt] \text{Termo }1 &=1{,}38\cdot 15=20{,}7,\\[4pt] \text{Termo }2 &=0{,}054\cdot 15\cdot 10=0{,}054\cdot 150=8{,}1,\\[4pt] \text{Termo }3 &=-0{,}002833333333\cdot 15\cdot 10\cdot 5=-0{,}002833333333\cdot 750=-2{,}125. \end{aligned}
Somando:
P_3(25)=25{,}2+20{,}7+8{,}1-2{,}125=51{,}875.
Com quatro casas decimais: \;51{,}8750\;(^\circ\mathrm{C}).]

Passo 6

Interpretação dos coeficientes e verificação rápida de coerência (controle de sanidade):
  • Slope aproximados entre pontos (coeficientes de diferença dividida de ordem 1) foram 1{,}38, 1{,}92 e 1{,}88 (°C/s approximado). Isso diz que a temperatura aumenta e a taxa de aumento cresce de 10 a 20 s (de 1{,}38 para 1{,}92) e depois fica quase constante/um pouco menor (1{,}88) entre 20 e 30 s. A estimativa 51{,}875 em 25 s fica entre 41{,}7 e 60{,}5, coerente com a tendência.
  • Pequeno coeficiente cubic negativo final ( -0{,}0028333\ldots) indica uma curvatura que reduz ligeiramente o crescimento cúbico quando extrapolamos além dos nós, mas dentro do intervalo [10,30]\ o comportamento é razoável.éá

Passo 7

Justificativa comparativa: Newton vs Lagrange (letra c) — explicação didática e prática.
  • Construção:
    • Newton: constrói-se a tabela de diferenças divididas. Cada coeficiente aparece uma única vez e corresponde a uma coluna da tabela. O polinômio fica na forma incremental com fatores (t-t_0),(t-t_0)(t-t_1),\dots.
    • Lagrange: escreve-se como combinação das bases de Lagrange \ell_i(t), cada \ell_i envolve produto sobre todos os nós exceto i. Não se constrói tabela incremental; as bases são menos reutilizáveis.
  • Eficiência computacional:
    • Montar a tabela de diferenças divididas custa da ordem de O(n^2) operações para n+1 pontos (mesmo custo assintótico de construir coeficientes de qualquer interpolador polinomial), mas avaliar o polinômio na forma de Newton pode ser feito em O(n) operações usando multiplicações acumuladas (análogo a Horner generalizado).
    • Avaliar diretamente a forma de Lagrange, sem cuidados, custa O(n^2) por ponto avaliado (porque cada \ell_i(t) tem produto sobre n fatores). Existem formas otimizadas (como a forma baricêntrica de Lagrange) que reduzem muito o custo, mas a forma padrão não é tão eficiente.
    • Se você precisar adicionar um novo ponto e recalcular o polinômio:
      • Newton: basta computar as novas diferenças divididas envolvendo o novo nó — não precisa recomputar tudo. É incremental.
      • Lagrange: tipicamente precisa-se recomputar todas as bases \ell_i (ao menos em implementação simples).
  • Conclusão prática para este caso:
    • Como temos poucos pontos (4), tanto Newton quanto Lagrange são fáceis; porém, na prática (para implementação, reuso e se houver possibilidade de adicionar novos dados), o método de Newton é preferível por ser incremental e por permitir avaliação eficiente. Para implementações manuais ou de prova, Newton também facilita os cálculos organizados em tabela. Por isso, para o caso prático pedido, eu escolheria Newton.

Passo 8

Gráfico com apoio de ferramentas computacionais (letra d) — instruções práticas e descrição do que plotar.
Eu não consigo anexar imagens diretamente aqui, mas abaixo dou um código em Python (Matplotlib + NumPy) que você pode rodar localmente para gerar o gráfico pedido. O código plota:
  • os pontos experimentais (t_i,T_i) como marcadores,
  • a curva do polinômio interpolador P_3(t) no intervalo [10,30],
  • marca a estimativa em t=25 s como um ponto destacado e com anotação,
  • inclui legenda, rótulos e grade.
Código Python (copie e execute num ambiente com numpy e matplotlib):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Dados
t = np.array([10.0, 15.0, 20.0, 30.0])
T = np.array([25.2, 32.1, 41.7, 60.5])

# Coeficientes Newton (conforme calculados)
a0 = 25.2
a1 = 1.38
a2 = 0.054
a3 = -0.0028333333333333335

# Função para avaliar P3(t) na forma de Newton
def P3(tt):
    return (a0
            + a1*(tt-10.0)
            + a2*(tt-10.0)*(tt-15.0)
            + a3*(tt-10.0)*(tt-15.0)*(tt-20.0))

# Ponto de interesse
t_est = 25.0
T_est = P3(t_est)

# Vetor de pontos para curva
tt = np.linspace(10.0, 30.0, 400)
TT = P3(tt)

# Plot
plt.figure(figsize=(8,5))
plt.plot(tt, TT, label='Polinômio interpolador (Newton)', color='tab:blue')
plt.scatter(t, T, color='tab:red', label='Pontos experimentais', zorder=5)
plt.scatter([t_est], [T_est], color='tab:green', s=80, label=f'Estimativa em t={t_est}s: {T_est:.4f}°C', zorder=6)
plt.xlabel('Tempo (s)')
plt.ylabel('Temperatura (°C)')
plt.title('Interpolação da Temperatura do Reator')
plt.legend()
plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()
Breve orientação para executar: salve o código num arquivo plot_interpolacao.py e execute com python plot_interpolacao.py num ambiente com numpy e matplotlib instalados (por exemplo, Anaconda, Jupyter Notebook, ou ambiente virtual com pip).

Passo 9

Breve análise interpretativa do gráfico e do comportamento da temperatura (texto que você pode usar na legenda ou em relatório):
  • Os pontos experimentais mostram temperatura aumentando com o tempo: de 25{,}2^\circ\mathrm{C} em 10 s até 60{,}5^\circ\mathrm{C} em 30 s.
  • As inclinações aproximadas entre pontos são 1{,}38, 1{,}92 e 1{,}88 (°C/s), indicando que a taxa de aumento acelera entre 10 e 20 s e se estabiliza ligeiramente entre 20 e 30 s.
  • A estimativa em 25 s, \,51{,}8750^\circ\mathrm{C}, fica entre os pontos de 20 s e 30 s e é coerente com a tendência crescente.
  • O polinômio interpolador fornece uma curva suave que passa exatamente pelos quatro pontos; para propósitos de estimação dentro do intervalo [10,30] ele é adequado. Cuidado: fora desse intervalo o polinômio pode extrapolar mal (efeito de Runge para polinômios de grau alto), então evite extrapolar muito além dos nós.

Resposta

(a) P_3(t)=25{,}2+1{,}38\,(t-10)+0{,}054\,(t-10)(t-15)-0{,}002833333333\,(t-10)(t-15)(t-20).
(b) P_3(25)=51{,}8750\\ (^ \circ\mathrm{C}).
(c) Newton é preferível aqui: permite construção organizada via tabela de diferenças divididas, avaliação eficiente (multiplicações acumuladas) e atualização incremental ao adicionar novos pontos; a forma de Lagrange, na implementação direta, é menos eficiente para avaliação e pior de atualizar.
(d) Código Python fornecido acima gera o gráfico com os pontos experimentais, a curva do polinômio em [10,30] e a estimativa em t=25 s; a análise interpretativa é: temperatura cresce ao longo do tempo, com aceleração entre 10 e 20 s e leve estabilização da taxa entre 20 e 30 s; a estimativa em 25 s ( 51{,}8750^\circ\mathrm{C}) é coerente com essa tendência.

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