Considere o sistema linear A x=[ll0.913 & 0.659 0.457 & 0.330][lx1 x2]=[l0.254 0.127]=b.
a) Calcule a solução usando o método da Eliminação de Gauss.
b) Sendo A^-1=[cc2598.4 & -5189 -3598.4 & 7189], calcule o número de condição do sistema e avalie o resultado usando o número de condição e mais uma condição característica de avaliação.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um sistema linear 2×2
A x = b, A=0.913 & 0.659[4pt]0.457 & 0.330, b=0.2540.127
O conteúdo é “Sistemas Lineares” (Eliminação de Gauss) e “Número de Condição” de uma matriz.
Para resolver vamos precisar de:
  1. Eliminação de Gauss (pivotar, zerar abaixo do pivô).
  2. Substituição retrógrada para achar .
  3. Norma infinita de matrizes e definição .
  4. Outra característica de avaliação (por exemplo, determinante).

Passo 2

Eliminação de Gauss para triangularizar:
  1. Pivotamos em m21 = a21a11 = 0.4570.913 approx 0.500547 .
  2. Calculamos o multiplicador a'22 = 0.330 - 0.500547cdot0.659 approx 0.00014, b'2 = 0.127 - 0.500547cdot0.254 approx -0.00014
  3. Subtraímos 0.913,x1 ;+;0.659,x2 = 0.254,[3pt] 0;,x1 ;+;0.00014,x2 = -0.00014 vezes a linha 1 da linha 2:
Agora a matriz está triangular superior:

Passo 3

Substituição retrógrada:
  1. Da segunda equação: 0.00014,x2 = -0.00014 ;Longrightarrow; x2 = -1
  2. Na primeira: 0.913,x1 + 0.659,( -1) = 0.254 ;Longrightarrow; 0.913,x1 = 0.254 + 0.659 = 0.913 ;Longrightarrow; x1 = 1

Passo 4

Cálculo do número de condição (norma infinito):
|A|infty = max0.913+0.659,;0.457+0.330 = 1.572,
A^-1=2598.4 & -5189-3598.4 & 7189 ;Longrightarrow; |A^-1|infty = max2598.4+5189,;3598.4+7189=10787.4
Logo
condinfty(A)=|A|infty,|A^-1|infty approx 1.572times10787.4approx1.70times10^4

Passo 5

Avaliação usando o cond e outra característica (determinante):
– Determinante:
det(A)=0.913cdot0.330-0.659cdot0.457approx1.27times10^-4,
bem pequeno, indicando que está “quase singular”.
– Número de condição é muito alto, ou seja, pequenas mudanças em ou podem causar grandes erros na solução.

Resposta

Solução pelo método de Gauss:
x = 1-1
Número de condição (norma ∞): .
Determinante: .
Conclusão: sistema mal condicionado; a solução é muito sensível a perturbações em ou .

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