Considere o sistema linear
.
a) Calcule a solução usando o método da Eliminação de Gauss.
b) Sendo
, calcule o número de condição do sistema e avalie o resultado usando o número de condição e mais uma condição característica de avaliação.
a) Calcule a solução usando o método da Eliminação de Gauss.
b) Sendo
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um sistema linear 2×2
O conteúdo é “Sistemas Lineares” (Eliminação de Gauss) e “Número de Condição” de uma matriz.
Para resolver vamos precisar de:
Para resolver vamos precisar de:
- Eliminação de Gauss (pivotar, zerar abaixo do pivô).
- Substituição retrógrada para achar
. - Norma infinita de matrizes e definição
. - Outra característica de avaliação (por exemplo, determinante).
Passo 2
Eliminação de Gauss para triangularizar:
- Pivotamos em
. - Calculamos o multiplicador
- Subtraímos
vezes a linha 1 da linha 2:
Agora a matriz está triangular superior:
Passo 3
Substituição retrógrada:
- Da segunda equação:
- Na primeira:
Passo 4
Cálculo do número de condição (norma infinito):
Logo
Passo 5
Avaliação usando o cond e outra característica (determinante):
– Determinante:
bem pequeno, indicando que
está “quase singular”.
– Número de condição é muito alto, ou seja, pequenas mudanças em
ou
podem causar grandes erros na solução.
– Número de condição
Resposta
Solução pelo método de Gauss:
Número de condição (norma ∞):
.
Determinante: .
Conclusão: sistema mal condicionado; a solução é muito sensível a perturbações em
ou
.
Determinante:
Conclusão: sistema mal condicionado; a solução