Seja a tabela de pontos abaixo:
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2.4 | 2.6 | 2.8 | 3.0 | 3.2 | 3.4 | 3.6 | 3.8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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11.0232 | 13.4637 | 16.4446 | 20.0855 | 24.5325 | 29.9641 | 36.5982 | 44.7012 |
Calcular
usando a fórmula de Lagrange sobre três pontos, sendo fornecida a tabela.
b) Justifique a escolha dos pontos.
c) Forneça uma aproximação para o erro de truncamento no cálculo pedido. (0.5)
d) Calcule o erro exato.
b) Justifique a escolha dos pontos.
c) Forneça uma aproximação para o erro de truncamento no cálculo pedido. (0.5)
d) Calcule o erro exato.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem que fazer é usar interpolação de Lagrange de grau 2 (ou seja, 3 pontos) pra estimar o valor de
a partir da tabela dada. O conteúdo aqui é interpolação polinomial (fórmula de Lagrange) e, pra resolver, vamos precisar dos três pontos mais próximos de
na tabela e das fórmulas dos polinômios bases de Lagrange.
Passo 2
A escolha dos pontos é simples: quanto mais perto de 3.1, melhor. Na tabela, os valores ao redor são
. Esses três minimizam o erro porque formam um “entorno” de 3.1. Logo, tomamos
Passo 3
A fórmula de Lagrange diz
Para
$$L_0(3.1)=\frac{(3.1-3.0)(3.1-3.2)}{(2.8-3.0)(2.8-3.2)}
=\frac{0.1\cdot(-0.1)}{(-0.2)\cdot(-0.4)}=-0.125,$$
$$L_1(3.1)=\frac{(3.1-2.8)(3.1-3.2)}{(3.0-2.8)(3.0-3.2)}
=\frac{0.3\cdot(-0.1)}{0.2\cdot(-0.2)}=0.75,$$
$$L_2(3.1)=\frac{(3.1-2.8)(3.1-3.0)}{(3.2-2.8)(3.2-3.0)}
=\frac{0.3\cdot0.1}{0.4\cdot0.2}=0.375.
P_2(3.1)=16.4446\cdot(-0.125)+20.0855\cdot0.75+24.5325\cdot0.375
\approx22.20824.$$
Passo 4
O erro de truncamento (resto de Lagrange) é
com
$$|R_2|\le\frac{24.5325}{6}\cdot|0.3\cdot0.1\cdot(-0.1)|
=\frac{24.5325}{6}\cdot0.003\approx0.01227.$$
Passo 5
O valor exato é
.
Logo o erro “real” da nossa interpolação é
Logo o erro “real” da nossa interpolação é
Resposta
Portanto, usando Lagrange com os pontos
, obtemos
com erro de truncamento