Seja a tabela de pontos abaixo:
x 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
e^x 11.0232 13.4637 16.4446 20.0855 24.5325 29.9641 36.5982 44.7012
Calcular e^3.1 usando a fórmula de Lagrange sobre três pontos, sendo fornecida a tabela.
b) Justifique a escolha dos pontos.
c) Forneça uma aproximação para o erro de truncamento no cálculo pedido. (0.5)
d) Calcule o erro exato.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem que fazer é usar interpolação de Lagrange de grau 2 (ou seja, 3 pontos) pra estimar o valor de e^3.1 a partir da tabela dada. O conteúdo aqui é interpolação polinomial (fórmula de Lagrange) e, pra resolver, vamos precisar dos três pontos mais próximos de x=3.1 na tabela e das fórmulas dos polinômios bases de Lagrange.

Passo 2

A escolha dos pontos é simples: quanto mais perto de 3.1, melhor. Na tabela, os valores ao redor são x=2.8,;3.0,;3.2. Esses três minimizam o erro porque formam um “entorno” de 3.1. Logo, tomamos
x0=2.8,;f0=e^2.8=16.4446; x1=3.0,;f1=20.0855; x2=3.2,;f2=24.5325

Passo 3

A fórmula de Lagrange diz
P2(x)=sumi=0^2 fi,Li(x), Li(x)=prodjneq ix - xjxi - xj
Para x=3.1:
$$L_0(3.1)=\frac{(3.1-3.0)(3.1-3.2)}{(2.8-3.0)(2.8-3.2)}
=\frac{0.1\cdot(-0.1)}{(-0.2)\cdot(-0.4)}=-0.125,$$
$$L_1(3.1)=\frac{(3.1-2.8)(3.1-3.2)}{(3.0-2.8)(3.0-3.2)}
=\frac{0.3\cdot(-0.1)}{0.2\cdot(-0.2)}=0.75,$$
$$L_2(3.1)=\frac{(3.1-2.8)(3.1-3.0)}{(3.2-2.8)(3.2-3.0)}
=\frac{0.3\cdot0.1}{0.4\cdot0.2}=0.375. L0(3.1)=(3.1-3.0)(3.1-3.2)(2.8-3.0)(2.8-3.2) =0.1cdot(-0.1)(-0.2)cdot(-0.4)=-0.125,ãP_2(3.1)=16.4446\cdot(-0.125)+20.0855\cdot0.75+24.5325\cdot0.375
\approx22.20824.$$

Passo 4

O erro de truncamento (resto de Lagrange) é
R2(3.1)=f^(3)(xi)3!(3.1-2.8)(3.1-3.0)(3.1-3.2)
com xiin[2.8,3.2] e f^(3)(x)=e^x. No pior caso tomamos e^xi<= e^3.2=24.5325, então
$$|R_2|\le\frac{24.5325}{6}\cdot|0.3\cdot0.1\cdot(-0.1)|
=\frac{24.5325}{6}\cdot0.003\approx0.01227.$$

Passo 5

O valor exato é e^3.1approx20.085537cdot1.1051709approx22.1979513.
Logo o erro “real” da nossa interpolação é
|22.20824 - 22.1979513|approx0.01029

Resposta

Portanto, usando Lagrange com os pontos 2.8,3.0,3.2, obtemos
e^3.1approx22.20824,
com erro de truncamento <=0.01227 e erro exato approx0.01029,.

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