Considere o sistema linear \mathrm{Ax}=\mathrm{b}, \operatorname{com} A=\left(\begin{array}{cc}16 & 5 \\\\ 3 & 2.5\end{array}\right) e \boldsymbol{b}=\binom{\mathbf{2 1}}{\mathbf{5 . 5}}:
a. Verifique se o sistema A x=b possui solução única;
b. Encontre o termo independente d e a matriz de iteração C, quando o sistema A x=b é transformado \mathrm{em} x=C x+d;
c. Verifique se é possivel aplicar o método de GaussJacobi;
d. Encontre uma solução aproximada, com pelos menos 3 digitos corretos, para o sistema usando o método iterativo de Jacobi;
e. Verifique se é possível aplicar o método de GaussSeidel;
f. Encontre uma solução aproximada, com pelos menos 3 dígitos corretos, para o sistema usando o método iterativo de Gauss-Seidel;

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear \mathrm{A x}=\mathrm{b} com
A=\begin{pmatrix}16 & 5 \\[4pt] 3 & 2{,}5\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}21 \\[4pt] 5{,}5\end{pmatrix},
e pede, em partes:
a. verificar se o sistema tem solução única;
b. transformar o sistema em \mathbf{x}=C\mathbf{x}+d e encontrar C e d;
c. verificar se é possível aplicar o método de Jacobi (condição de convergência);
d. achar uma solução aproximada por Jacobi com pelo menos 3 dígitos corretos;
e. verificar se é possível aplicar o método de Gauss–Seidel;
f. achar uma solução aproximada por Gauss–Seidel com pelo menos 3 dígitos corretos.
Informações dadas (resumindo):
\;A_{11}=16,\;A_{12}=5,\;A_{21}=3,\;A_{22}=2{,}5,\;b_1=21,\;b_2=5{,}5.]

Passo 2

Verificar existência e unicidade (determinante).
A solução é única se e somente se \det(A)\neq 0.
Calculemos o determinante:
\det(A)=16\cdot 2{,}5 - 5\cdot 3.
Compute:
16\cdot 2{,}5 = 40,\qquad 5\cdot 3 = 15,
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\det(A)=40-15=25\neq 0.
Conclusão: \emph{o sistema tem solução única} porque \det(A)=25.

Passo 3

Transformar A\mathbf{x}=\mathbf{b} na forma de iteração \mathbf{x}=C\mathbf{x}+d.
Procedimento padrão (ensino passo-a-passo):
  • Escrever A=D-( - (L+U)) separando a diagonal D e as partes estritamente inferior e superior L e U.
  • A forma de iteração de Jacobi é \mathbf{x}=D^{-1}(\mathbf{b}-(L+U)\mathbf{x}), isto é
\mathbf{x}= -D^{-1}(L+U)\mathbf{x} + D^{-1}\mathbf{b},
portanto C=-D^{-1}(L+U) e d=D^{-1}\mathbf{b}.
Para nossa matriz:
D=\begin{pmatrix}16 & 0\\[4pt]0 & 2{,}5\end{pmatrix},\quad L+U=\begin{pmatrix}0 & -5\\[4pt]-3 & 0\end{pmatrix}\text{ (no sinal usual, aqui usamos as entradas off-diagonal de }A\text{)}.
Calcule D^{-1}:
D^{-1}=\begin{pmatrix}1/16 & 0\\[4pt]0 & 1/2{,}5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0{,}0625 & 0\\[4pt]0 & 0{,}4\end{pmatrix}.
Agora C=-D^{-1}(L+U). Mais direto: para Jacobi cada off-diagonal a_{ij} vira -a_{ij}/a_{ii}. Assim
C=\begin{pmatrix} 0 & -\dfrac{5}{16}\\[8pt] -\dfrac{3}{2{,}5} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -0{,}3125\\[6pt] -1{,}2 & 0 \end{pmatrix}.
E
d=D^{-1}\mathbf{b}=\begin{pmatrix}1/16 & 0\\[4pt]0 & 1/2{,}5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}21\\[4pt]5{,}5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}21/16\\[4pt]5{,}5/2{,}5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1{,}3125\\[4pt]2{,}2\end{pmatrix}.
Resumo: a transformação \mathbf{x}=C\mathbf{x}+d tem
C=\begin{pmatrix}0 & -\dfrac{5}{16}\\[6pt]-\dfrac{3}{2{,}5} & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -0{,}3125\\[4pt]-1{,}2 & 0\end{pmatrix}, \qquad d=\begin{pmatrix}1{,}3125\\[4pt]2{,}2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Verificar se é possível aplicar o método de Jacobi e explicar a teoria necessária.
Teoria curta e clara:
  • O método de Jacobi gera a iteração \mathbf{x}^{(k+1)}=C\mathbf{x}^{(k)}+d.
  • Uma condição suficiente (simples de checar) para convergência é que A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, i.e., |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}| para cada linha i.
  • A condição necessária e suficiente é que o raio espectral \rho\text{(C)}<1 (onde \rho\text{(C)} é o maior módulo dos autovalores de C). Em muitos exercícios de prova calculamos \rho\text{(C)} para concluir.
Aplicação aos nossos dados:
  • Teste de dominância por linhas:
    linha 1: |16|> |5| 16>5 OK;
    linha 2: |2{,}5|> |3| 2{,}5>3 não é verdade.
    Portanto o teste suficiente falha (não é diagonalmente dominante por linhas).
  • Mas podemos calcular o raio espectral de C. Como C é 2\times2 com zeros na diagonal, seus autovalores satisfazem \lambda^2 = C_{12}C_{21}. Então
C_{12}C_{21} = \left(-\dfrac{5}{16}\right)\left(-\dfrac{3}{2{,}5}\right) =\dfrac{15}{16\cdot 2{,}5}=\dfrac{15}{40}=0{,}375.
Logo os autovalores são \lambda=\pm\sqrt{0{,}375}. Assim
\rho\text{(C)}=\sqrt{0{,}375}\approx 0{,}612372\\ (<1).
Conclusão: \emph{o método de Jacobi converge} porque \rho\text{(C)}\approx 0{,}612372<1, embora A não seja estritamente diagonalmente dominante por linhas.

Passo 5

Executar o método de Jacobi passo a passo até obter aproximação com pelo menos 3 dígitos corretos (critério prático que uso: cada componente deve satisfazer |x_i^{(k)}-x_i^*|<5\cdot 10^{-4}, para garantir 3 casas decimais corretas).
Fórmulas de iteração (já obtidas do C e d):
x_1^{(k+1)}=\dfrac{1}{16}\bigl(21-5x_2^{(k)}\bigr)=1{,}3125-0{,}3125\,x_2^{(k)},
x_2^{(k+1)}=\dfrac{1}{2{,}5}\bigl(5{,}5-3x_1^{(k)}\bigr)=2{,}2-1{,}2\,x_1^{(k)}.
Escolho \mathbf{x}^{(0)}=(0,0) (inicial comum em provas). Vou mostrar as iterações (algumas são redundantes porque o método oscila, mas eu mostro todas até a convergência desejada):
  • k=0: \mathbf{x}^{(0)}=(0{,}0000,\;0{,}0000).
  • k=1: x_1=1{,}3125,\; x_2=2{,}2. Assim \mathbf{x}^{(1)}=(1{,}3125,\;2{,}2).
  • k=2: \mathbf{x}^{(2)}=(0{,}625,\;0{,}625).
  • k=3: \mathbf{x}^{(3)}=(1{,}1171875,\;1{,}45).
  • k=4: \mathbf{x}^{(4)}=(0{,}859375,\;0{,}859375).
  • k=5: \mathbf{x}^{(5)}=(1{,}0439453125,\;1{,}16875).
  • k=6: \mathbf{x}^{(6)}=(0{,}947265625,\;0{,}947265625).
  • k=7: \mathbf{x}^{(7)}=(1{,}0164794921875,\;1{,}06328125).
  • k=8: \mathbf{x}^{(8)}=(0{,}980224609375,\;0{,}980224609375).
  • k=9: \mathbf{x}^{(9)}\approx(1{,}0061817169,\;1{,}0236816406).
  • k=10: \mathbf{x}^{(10)}\approx(0{,}992582\;,\;0{,}992582).
  • k=11: \mathbf{x}^{(11)}\approx(1{,}002318,\;1{,}008902).
  • k=12: \mathbf{x}^{(12)}\approx(0{,}9972183,\;0{,}9972184).
  • k=13: \mathbf{x}^{(13)}\approx(1{,}0008693,\;1{,}0033381).
  • k=14: \mathbf{x}^{(14)}\approx(0{,}99895685,\;0{,}99895686).
  • k=15: \mathbf{x}^{(15)}\approx(1{,}00032661,\;1{,}00125178).
  • k=16: \mathbf{x}^{(16)}\approx(0{,}9996081938,\;0{,}9996080680).
Observe que o sistema exato (podemos também resolver diretamente) tem solução \mathbf{x}^*=(1,1). Verificamos a diferença em k=16:
|x_1^{(16)}-1|\approx 0{,}0003918<0{,}0005,\qquad |x_2^{(16)}-1|\approx 0{,}0003920<0{,}0005.
Portanto em k=16 obtemos aproximação com pelo menos 3 casas decimais corretas. Resultado Jacobi (aproximação aceita):
\mathbf{x}^{(16)}\approx\begin{pmatrix}0{,}999608\\[4pt]0{,}999608\end{pmatrix}\quad(\text{cada componente dentro de }5\cdot10^{-4}\text{ de }1).
Comentário de incentivo: deu trabalho, mas Jacobi convergiu e alcançamos a precisão pedida em 16 iterações.]

Passo 6

Verificar se é possível aplicar Gauss–Seidel (condição de convergência) e explicar.
Teoria curta:
  • Gauss–Seidel é a iteração \mathbf{x}^{(k+1)}=(D+L)^{-1}(\mathbf{b}-U\mathbf{x}^{(k)}). A matriz de iteração é C_{GS}=-(D+L)^{-1}U.
  • Uma condição suficiente é, novamente, diagonal dominante por linhas (garante convergência tanto para Jacobi quanto para Gauss–Seidel). Mas, como antes, mesmo sem dominância, a convergência pode ocorrer se \rho(C_{GS})<1.
Cálculo para nosso A:
D+L=\begin{pmatrix}16 & 0\\[4pt]3 & 2{,}5\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}0 & 5\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
A inversa de uma triangular inferior 2\times2 é dada por
(D+L)^{-1}=\begin{pmatrix}1/16 & 0\\[6pt]-\dfrac{3}{16\cdot 2{,}5} & 1/2{,}5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0{,}0625 & 0\\[4pt]-0{,}075 & 0{,}4\end{pmatrix}.
Então
C_{GS}=-(D+L)^{-1}U = -\begin{pmatrix}0{,}0625 & 0\\[4pt]-0{,}075 & 0{,}4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 5\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}0 & 0{,}3125\\[4pt]0 & -0{,}375\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -0{,}3125\\[4pt]0 & 0{,}375\end{pmatrix}.
Os autovalores de C_{GS} são as raízes do polinômio característico; aqui é triangular superior efetivamente, os autovalores são \lambda_1=0,\;\lambda_2=0{,}375. Assim
\rho(C_{GS})=0{,}375<1.
Conclusão: \emph{o método de Gauss–Seidel converge} (e, na prática, converge mais rápido que Jacobi neste caso porque \rho(C_{GS}) é menor que \rho\text{(C)}).]

Passo 7

Executar Gauss–Seidel passo a passo até atingir 3 dígitos corretos.
Fórmulas (usando atualização imediata de componentes):
x_1^{(k+1)}=1{,}3125-0{,}3125\,x_2^{(k)}, \qquad x_2^{(k+1)}=2{,}2-1{,}2\,x_1^{(k+1)}.
Começando em \mathbf{x}^{(0)}=(0,0):
  • k=0\to 1: x_1^{(1)}=1{,}3125, x_2^{(1)}=2{,}2-1{,}2\cdot 1{,}3125=0{,}625. \mathbf{x}^{(1)}=(1{,}3125,\;0{,}625).
  • k=1\to 2: x_1^{(2)}=1{,}3125-0{,}3125\cdot 0{,}625=1{,}1171875, x_2^{(2)}=2{,}2-1{,}2\cdot 1{,}1171875=0{,}859375.
  • k=2\to 3: \mathbf{x}^{(3)}=(1{,}0439453125,\;0{,}947265625).
  • k=3\to 4: \mathbf{x}^{(4)}=(1{,}01611328125,\;0{,}9806640625).
  • k=4\to 5: \mathbf{x}^{(5)}\approx(1{,}00604248047,\;0{,}99274902344).
  • k=5\to 6: \mathbf{x}^{(6)}\approx(1{,}00226593018,\;0{,}99728088379).
  • k=6\to 7: \mathbf{x}^{(7)}\approx(1{,}00084972382,\;0{,}99898033142).
  • k=7\to 8: \mathbf{x}^{(8)}\approx(1{,}00031864643,\;0{,}99961762428).
Agora verificar erros relativos a \mathbf{x}^*=(1,1):
  • Em k=8: |x_1^{(8)}-1|\approx 0{,}0003186<0{,}0005 e |x_2^{(8)}-1|\approx 0{,}0003824<0{,}0005.
Portanto, com Gauss–Seidel já em k=8 temos ambas as componentes dentro de 5\cdot 10^{-4} de 1, isto é, \emph{pelo menos 3 dígitos corretos}. Uma aproximação conveniente:
\mathbf{x}^{(8)}\approx\begin{pmatrix}1{,}000319\\[4pt]0{,}999618\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) O sistema tem solução única, pois \det(A)=25\neq 0.
(b) d=\begin{pmatrix}1{,}3125\\[4pt]2{,}2\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}0 & -0{,}3125\\[6pt]-1{,}2 & 0\end{pmatrix}.
(c) Sim: o método de Jacobi converge porque \rho\text{(C)}=\sqrt{0{,}375}\approx 0{,}612372<1.
(d) Aproximação por Jacobi com 3 dígitos corretos: \displaystyle \mathbf{x}^{(16)}\approx\begin{pmatrix}0{,}999608\\[4pt]0{,}999608\end{pmatrix}.
(e) Sim: o método de Gauss–Seidel converge porque \rho(C_{GS})=0{,}375<1.
(f) Aproximação por Gauss–Seidel com 3 dígitos corretos: \displaystyle \mathbf{x}^{(8)}\approx\begin{pmatrix}1{,}000319\\[4pt]0{,}999618\end{pmatrix}.]

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