Considere o sistema linear \mathrm{Ax}=\mathrm{b}, \operatorname{com} A=\left(\begin{array}{cc}16 & 5 \\\\ 3 & 2.5\end{array}\right) e \boldsymbol{b}=\binom{\mathbf{2 1}}{\mathbf{5 . 5}}:
a. Verifique se o sistema A x=b possui solução única;
b. Encontre o termo independente d e a matriz de iteração C, quando o sistema A x=b é transformado \mathrm{em} x=C x+d;
c. Verifique se é possivel aplicar o método de GaussJacobi;
d. Encontre uma solução aproximada, com pelos menos 3 digitos corretos, para o sistema usando o método iterativo de Jacobi;
e. Verifique se é possível aplicar o método de GaussSeidel;
f. Encontre uma solução aproximada, com pelos menos 3 dígitos corretos, para o sistema usando o método iterativo de Gauss-Seidel;
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear \mathrm{A x}=\mathrm{b} com
e pede, em partes:
a. verificar se o sistema tem solução única;
b. transformar o sistema em \mathbf{x}=C\mathbf{x}+d e encontrar C e d;
c. verificar se é possível aplicar o método de Jacobi (condição de convergência);
d. achar uma solução aproximada por Jacobi com pelo menos 3 dígitos corretos;
e. verificar se é possível aplicar o método de Gauss–Seidel;
f. achar uma solução aproximada por Gauss–Seidel com pelo menos 3 dígitos corretos.
Verificar se é possível aplicar o método de Jacobi e explicar a teoria necessária.
Teoria curta e clara:
O método de Jacobi gera a iteração \mathbf{x}^{(k+1)}=C\mathbf{x}^{(k)}+d.
Uma condição suficiente (simples de checar) para convergência é que A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, i.e., |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}| para cada linha i.
A condição necessária e suficiente é que o raio espectral \rho\text{(C)}<1 (onde \rho\text{(C)} é o maior módulo dos autovalores de C). Em muitos exercícios de prova calculamos \rho\text{(C)} para concluir.
Aplicação aos nossos dados:
Teste de dominância por linhas:
linha 1: |16|> |5| → 16>5 OK;
linha 2: |2{,}5|> |3| → 2{,}5>3 não é verdade.
Portanto o teste suficiente falha (não é diagonalmente dominante por linhas).
Mas podemos calcular o raio espectral de C. Como C é 2\times2 com zeros na diagonal, seus autovalores satisfazem \lambda^2 = C_{12}C_{21}. Então
Conclusão: \emph{o método de Jacobi converge} porque \rho\text{(C)}\approx 0{,}612372<1, embora A não seja estritamente diagonalmente dominante por linhas.
Passo 5
Executar o método de Jacobi passo a passo até obter aproximação com pelo menos 3 dígitos corretos (critério prático que uso: cada componente deve satisfazer |x_i^{(k)}-x_i^*|<5\cdot 10^{-4}, para garantir 3 casas decimais corretas).
Escolho \mathbf{x}^{(0)}=(0,0) (inicial comum em provas). Vou mostrar as iterações (algumas são redundantes porque o método oscila, mas eu mostro todas até a convergência desejada):
k=0: \mathbf{x}^{(0)}=(0{,}0000,\;0{,}0000).
k=1: x_1=1{,}3125,\; x_2=2{,}2. Assim \mathbf{x}^{(1)}=(1{,}3125,\;2{,}2).
Portanto em k=16 obtemos aproximação com pelo menos 3 casas decimais corretas. Resultado Jacobi (aproximação aceita):
\mathbf{x}^{(16)}\approx\begin{pmatrix}0{,}999608\\[4pt]0{,}999608\end{pmatrix}\quad(\text{cada componente dentro de }5\cdot10^{-4}\text{ de }1).
Comentário de incentivo: deu trabalho, mas Jacobi convergiu e alcançamos a precisão pedida em 16 iterações.]
Passo 6
Verificar se é possível aplicar Gauss–Seidel (condição de convergência) e explicar.
Teoria curta:
Gauss–Seidel é a iteração \mathbf{x}^{(k+1)}=(D+L)^{-1}(\mathbf{b}-U\mathbf{x}^{(k)}). A matriz de iteração é C_{GS}=-(D+L)^{-1}U.
Uma condição suficiente é, novamente, diagonal dominante por linhas (garante convergência tanto para Jacobi quanto para Gauss–Seidel). Mas, como antes, mesmo sem dominância, a convergência pode ocorrer se \rho(C_{GS})<1.
Os autovalores de C_{GS} são as raízes do polinômio característico; aqui é triangular superior efetivamente, os autovalores são \lambda_1=0,\;\lambda_2=0{,}375. Assim
\rho(C_{GS})=0{,}375<1.
Conclusão: \emph{o método de Gauss–Seidel converge} (e, na prática, converge mais rápido que Jacobi neste caso porque \rho(C_{GS}) é menor que \rho\text{(C)}).]
Passo 7
Executar Gauss–Seidel passo a passo até atingir 3 dígitos corretos.
Fórmulas (usando atualização imediata de componentes):
Agora verificar erros relativos a \mathbf{x}^*=(1,1):
Em k=8: |x_1^{(8)}-1|\approx 0{,}0003186<0{,}0005 e |x_2^{(8)}-1|\approx 0{,}0003824<0{,}0005.
Portanto, com Gauss–Seidel já em k=8 temos ambas as componentes dentro de 5\cdot 10^{-4} de 1, isto é, \emph{pelo menos 3 dígitos corretos}. Uma aproximação conveniente:
(a) O sistema tem solução única, pois \det(A)=25\neq 0.
(b) d=\begin{pmatrix}1{,}3125\\[4pt]2{,}2\end{pmatrix},\quad
C=\begin{pmatrix}0 & -0{,}3125\\[6pt]-1{,}2 & 0\end{pmatrix}.
(c) Sim: o método de Jacobi converge porque \rho\text{(C)}=\sqrt{0{,}375}\approx 0{,}612372<1.
(d) Aproximação por Jacobi com 3 dígitos corretos: \displaystyle \mathbf{x}^{(16)}\approx\begin{pmatrix}0{,}999608\\[4pt]0{,}999608\end{pmatrix}.
(e) Sim: o método de Gauss–Seidel converge porque \rho(C_{GS})=0{,}375<1.
(f) Aproximação por Gauss–Seidel com 3 dígitos corretos: \displaystyle \mathbf{x}^{(8)}\approx\begin{pmatrix}1{,}000319\\[4pt]0{,}999618\end{pmatrix}.]