Dado o sistema linear a seguir:
\begin{gathered} 10 x_{1}+x_{2}-x_{3}=10 \\\\ 2 x_{1}+10 x_{2}+8 x_{3}=20 \\\\ 7 x_{1}+x_{2}+10 x_{3}=30 \end{gathered}
a. Determine a matriz de coeficientes A e o termo independente b;
b. Verifique se o sistema possui solução única;
c. Encontre o termo independente d e a matriz de iteração C, quando o sistema A x=b é transformado \mathrm{em} x=C x+d;
d. Verifique se é possivel aplicar o método de GaussJacobi;
e. Encontre uma solução aproximada, com pelos menos 3 digitos corretos, para o sistema usando o método iterativo de Jacobi;
f. Verifique se é possivel aplicar o método de GaussSeidel;
g. Encontre uma solução aproximada, com pelos menos 3 digitos corretos, para o sistema usando o método iterativo de Gauss-Seidel;

Passo 1

Enunciado e dados: o sistema é
\begin{gathered} 10 x_{1}+x_{2}-x_{3}=10 \\\\ 2 x_{1}+10 x_{2}+8 x_{3}=20 \\\\ 7 x_{1}+x_{2}+10 x_{3}=30
Perguntas (lista clara do que pedem):
a. Determinar a matriz de coeficientes A e o termo independente b.
b. Verificar se o sistema possui solução única.
c. Encontrar o termo independente d e a matriz de iteração C quando escrevemos A x = b na forma x = C x + d (forma usada pelo método de Jacobi).
d. Verificar se é possível aplicar o método de Jacobi (condições de convergência).
e. Encontrar uma solução aproximada (com pelo menos 3 dígitos corretos) usando Jacobi.
f. Verificar se é possível aplicar o método de Gauss–Seidel.
g. Encontrar uma solução aproximada (com pelo menos 3 dígitos corretos) usando Gauss–Seidel.
Todas as informações relevantes do enunciado já estão acima; não há figura ou dado adicional.

Passo 2

(a) Montagem da matriz de coeficientes e do vetor termo independente — explicando o que são.
Quando temos um sistema linear escrito em forma padrão, a matriz de coeficientes A é a matriz que contém os coeficientes das incógnitas nas colunas e as equações nas linhas; o vetor termo independente b contém os termos do lado direito de cada equação. Aqui, lendo cada equação em ordem, obtemos:
A=\begin{pmatrix} 10 & 1 & -1\\[4pt] 2 & 10 & 8\\[4pt] 7 & 1 & 10 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}10\\[4pt]20\\[4pt]30\end{pmatrix}.
Isso responde a (a).]

Passo 3

(b) Verificação de existência de solução única — teoria e cálculo do determinante.
Teoria curta: um sistema linear A x=b (com A quadrada) tem solução única se, e só se, \det(A)\neq 0. Então calculamos \det(A). Vou calcular o determinante por expansão na primeira linha (ou por regra de Sarrus adaptada), desenvolvendo passo a passo:
\det(A)=10\det\begin{pmatrix}10 & 8\\[4pt]1 & 10\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}2 & 8\\[4pt]7 & 10\end{pmatrix} +(-1)\det\begin{pmatrix}2 & 10\\[4pt]7 & 1\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}10 & 8\\[4pt]1 & 10\end{pmatrix}=10\cdot10-8\cdot1=100-8=92,
\det\begin{pmatrix}2 & 8\\[4pt]7 & 10\end{pmatrix}=2\cdot10-8\cdot7=20-56=-36,
\det\begin{pmatrix}2 & 10\\[4pt]7 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-10\cdot7=2-70=-68.
Substituindo:
\det(A)=10\cdot92 -1\cdot(-36)+(-1)\cdot(-68)=920+36+68=1024.
Como \det(A)=1024\neq 0, o sistema possui solução única. (Resposta à (b).)]

Passo 4

(c) Transformação para a forma de iteração x=Cx+d (método de Jacobi) — dedução e cálculo do C e d.
Teoria: para Jacobi separamos A em A=D+R, onde D é a matriz diagonal dos elementos diagonais de A e R=A-D contém as entradas fora da diagonal. A forma de iteração é
x^{(k+1)} = -D^{-1}R\,x^{(k)} + D^{-1}b,
ou seja
C=-D^{-1}R,\qquad d=D^{-1}b.
Aqui D=\operatorname{diag}(10,10,10). Então
R=A-D=\begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\[4pt]2 & 0 & 8\\[4pt]7 & 1 & 0\end{pmatrix}, \qquad D^{-1}=\begin{pmatrix}0{,}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0{,}1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0{,}1\end{pmatrix}.
Calculando C=-D^{-1}R (multiplicando cada linha de R por -1/10):
C=\begin{pmatrix} 0 & -0{,}1 & 0{,}1\\[4pt] -0{,}2 & 0 & -0{,}8\\[4pt] -0{,}7 & -0{,}1 & 0 \end{pmatrix}.
E
d=D^{-1}b=\begin{pmatrix}0{,}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0{,}1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0{,}1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}10\\[4pt]20\\[4pt]30\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Esses C e d são os usados no método de Jacobi. (Resposta à (c).)]

Passo 5

(d) Critérios de convergência para Jacobi — teoria e aplicação ao nosso C.
Teoria resumida e intuitiva:
  • Uma condição suficiente simples para a convergência de Jacobi é que A seja estritamente diagonal dominante por linhas, isto é, para cada linha i, |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|. Se isso ocorrer, então a matriz de iteração C tem raio espectral \rho\text{(C)}<1 e Jacobi converge para a solução única.
  • Outra via: a convergência acontece se e somente se \rho\text{(C)}<1 (onde \rho é o raio espectral, máximo dos módulos dos autovalores de C). Uma maneira prática é estimar/autocalcular \rho\text{(C)}.
Aplicando à nossa matriz A (verificação de dominância por linhas):
linha 1: |10| > |1| + |-1| = 2 (ok estrita),
linha 2: |10| = |2| + |8| = 10 (igual, não estrita),
linha 3: |10| > |7| + |1| = 8 (ok estrita).
Logo não há dominância estrita em todas as linhas (a linha 2 é apenas fraca), então o critério sufiente simples falha — não podemos concluir por esse critério simples. Isso não prova que Jacobi diverge; apenas não garante pela dominância.
Para decidir, vamos verificar \rho\text{(C)}. Calculamos o polinômio característico de C (passos algébricos resumidos) e obtemos
\chi_C(\lambda)=\lambda^{3}-0{,}03\lambda+0{,}054.
Dessa equação encontramos um autovalor real \lambda_1\approx -0{,}40435 e os outros dois são complexos conjugados com módulo aproximadamente 0{,}366. Assim
\rho\text{(C)}\approx 0{,}40435<1.
Portanto Jacobi converge. Conclusão para (d): é possível aplicar Jacobi, pois \rho\text{(C)}<1.
(Observação didática: usei cálculo do polinômio característico para obter \rho\text{(C)}. Alternativamente podia-se usar estimativas de Gershgorin e cálculo numérico de autovalores; o importante é mostrar \rho\text{(C)}<1.)

Passo 6

(e) Aplicação prática do método de Jacobi e critério de parada — desenvolvimento iterativo e escolha do critério para “3 dígitos corretos”.
Explicação do método: as fórmulas iterativas obtidas isolando cada x_i na diagonal são
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \tfrac{1}{10}\big(10 - x_2^{(k)} + x_3^{(k)}\big)=1-0{,}1x_2^{(k)}+0{,}1x_3^{(k)},\\[4pt] x_2^{(k+1)} &= \tfrac{1}{10}\big(20 - 2x_1^{(k)} - 8x_3^{(k)}\big)=2-0{,}2x_1^{(k)}-0{,}8x_3^{(k)},\\[4pt] x_3^{(k+1)} &= \tfrac{1}{10}\big(30 - 7x_1^{(k)} - x_2^{(k)}\big)=3-0{,}7x_1^{(k)}-0{,}1x_2^{(k)}. \end{aligned}
Critério prático para “pelo menos 3 dígitos corretos”: uma forma segura e utilizável sem conhecer a solução exata é usar a cota a posteriori baseada no raio espectral: se \rho=\rho\text{(C)} e \| \cdot\|_\infty é a norma infinito, então
\|x^{(k)}-x\|_\infty \le \frac{\rho}{1-\rho}\,\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_\infty.
Queremos erro absoluto máximo \le 5\times10^{-4} (critério típico para 3 casas decimais corretas). Assim exigimos
\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_\infty \le \frac{1-\rho}{\rho}\cdot 5\times10^{-4}.
Com \rho\approx 0{,}40435 obtemos o fator \dfrac{1-\rho}{\rho}\approx 1{,}473, e a tolerância para o passo é aproximadamente 7{,}37\times10^{-4}.
Agora as iterações (iniciando em x^{(0)}=(0,0,0), mostrar as primeiras iterações e parar quando o critério é satisfeito):
k=0: x^{(0)}=(0,0,0).
k=1: x^{(1)}=(1,2,3).
k=2: x^{(2)}=(1{,}1,\,-0{,}6,\;2{,}1).
k=3: x^{(3)}=(1{,}27,\;0{,}1,\;2{,}29).
k=4: x^{(4)}=(1{,}219,\,-0{,}086,\;2{,}101).
k=5: x^{(5)}\approx(1{,}2187,\;0{,}0754,\;2{,}1553).
k=6: x^{(6)}\approx(1{,}20799,\;0{,}03202,\;2{,}13937).
k=7: x^{(7)}\approx(1{,}210735,\;0{,}046906,\;2{,}151205).
k=8: x^{(8)}\approx(1{,}210430,\;0{,}036889,\;2{,}147794).
k=9: x^{(9)}\approx(1{,}211091,\;0{,}039679,\;2{,}149010).
k=10: x^{(10)}\approx(1{,}210933,\;0{,}038574,\;2{,}148269).
k=11: x^{(11)}\approx(1{,}210970,\;0{,}039198,\;2{,}148489).
Cálculo da norma da diferença entre x^{(11)} e x^{(10)}:
\|x^{(11)}-x^{(10)}\|_\infty\approx 0{,}0006246 < 7{,}37\times10^{-4},
logo, pelo critério a posteriori e o valor de \rho, a aproximação em k=11 garante erro máximo menor que 5\times10^{-4}, ou seja, pelo menos 3 dígitos corretos. Portanto a solução aproximada pelo método de Jacobi (após 11 iterações, com o critério usado) é aproximadamente
x^{(\text{Jacobi})}\approx\begin{pmatrix}1{,}21097\\[4pt]0{,}03920\\[4pt]2{,}14849\end{pmatrix}.
(Obs.: mais precisamente, a solução exata do sistema é \big(1{,}2109375,\;0{,}0390625,\;2{,}1484375\big)^T; a aproximação acima já tem pelo menos 3 dígitos corretos.)]

Passo 7

(f) Aplicabilidade do método de Gauss–Seidel — teoria e verificação.
Teoria curta: Gauss–Seidel também converge se A é estritamente diagonal dominante por linhas ou se A é simétrica definida positiva. Nós já vimos que A não é estritamente diagonal dominante em todas as linhas (linha 2 é apenas fraca), então o critério simples não garante; porém como Jacobi converge ( \rho(C_J)<1), geralmente Gauss–Seidel também converge e costuma convergir mais rápido. Podemos portanto aplicar Gauss–Seidel; na prática verificaremos convergência numericamente e a convergência ocorrerá (isto pode ser inferido do fato \rho(C_J)<1 e da estrutura do sistema). Conclusão para (f): sim, é possível aplicar Gauss–Seidel (e de fato ele converge).

Passo 8

(g) Aplicação prática do método de Gauss–Seidel — fórmulas, iterações, critério e resultado.
Fórmulas (usando valores mais recentes dentro da mesma iteração):
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= 1-0{,}1x_2^{(k)}+0{,}1x_3^{(k)},\\[4pt] x_2^{(k+1)} &= 2-0{,}2x_1^{(k+1)}-0{,}8x_3^{(k)},\\[4pt] x_3^{(k+1)} &= 3-0{,}7x_1^{(k+1)}-0{,}1x_2^{(k+1)}. \end{aligned}
Começando em x^{(0)}=(0,0,0) e iterando, obtemos (mostrando algumas iterações):
k=1: x^{(1)}=(1,\;1{,}8,\;2{,}12).
k=2: x^{(2)}\approx(1{,}032,\;0{,}0976,\;2{,}26784).
k=3: x^{(3)}\approx(1{,}217024,\,-0{,}0576768,\;2{,}15385088).
k=4: x^{(4)}\approx(1{,}221153,\;0{,}0326887,\;2{,}1419242).
k=5: x^{(5)}\approx(1{,}210924,\;0{,}0442759,\;2{,}1479259).
k=6: x^{(6)}\approx(1{,}210365,\;0{,}0395863,\;2{,}1487859).
k=7: x^{(7)}\approx(1{,}210920,\;0{,}0387873,\;2{,}1484773).
k=8: x^{(8)}\approx(1{,}2109690,\;0{,}0390342,\;2{,}1484526).
Para critério de parada simples (usando diferença entre iterações, condição prática) tomamos \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty < 5\times10^{-4} (mesma tolerância prática). Por volta de k=7 8 o método já atinge essa tolerância. A aproximação obtida (por exemplo em k=8) é
x^{(\text{GS})}\approx\begin{pmatrix}1{,}21097\\[4pt]0{,}03903\\[4pt]2{,}14845\end{pmatrix},
a qual tem pelo menos 3 dígitos corretos (na verdade muito mais perto da solução exata). Note que Gauss–Seidel convergiu mais rapidamente que Jacobi neste caso.]

Resposta

a. A=\displaystyle\begin{pmatrix}10 & 1 & -1\\[4pt]2 & 10 & 8\\[4pt]7 & 1 & 10\end{pmatrix},\qquad b=\displaystyle\begin{pmatrix}10\\[4pt]20\\[4pt]30\end{pmatrix}
b. Sim — \det(A)=1024\neq0, logo há solução única.
c. d=\displaystyle\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix},\qquad C=\displaystyle\begin{pmatrix}0 & -0{,}1 & 0{,}1\\[4pt]-0{,}2 & 0 & -0{,}8\\[4pt]-0{,}7 & -0{,}1 & 0\end{pmatrix}.
d. Sim — é possível aplicar Jacobi, pois o raio espectral \rho\text{(C)}\approx0{,}40435<1.
e. Solução aproximada por Jacobi (com pelo menos 3 dígitos corretos, obtida após 11 iterações): \displaystyle x^{(\text{Jacobi})}\approx\begin{pmatrix}1{,}21097\\[4pt]0{,}03920\\[4pt]2{,}14849\end{pmatrix}.
f. Sim — é possível aplicar Gauss–Seidel (converge e costuma ser mais rápido que Jacobi neste caso).
g. Solução aproximada por Gauss–Seidel (com pelo menos 3 dígitos corretos, obtida após 8 iterações): \displaystyle x^{(\text{GS})}\approx\begin{pmatrix}1{,}21097\\[4pt]0{,}03903\\[4pt]2{,}14845\end{pmatrix}.]

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