Encontre a derivada da funçio trigonométrica inversa dada. Sabendo que a derivada de
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
sabendo que a derivada de
é
Informações relevantes dadas:
- A função a derivar é uma composição de três funções:
, a raiz quadrada e . - Foi fornecida a fórmula da derivada da função inversa seno.
- Devemos aplicar regras de derivação para composições (cadeia).
Passo 2
Vamos decompor a função em camadas para aplicar a regra da cadeia com calma. Defino:
e então
A ideia é: primeiro diferencio
em termos de
, depois multiplico pela derivada de
. Esta é a regra da cadeia: se
então
Aqui
e
.
Passo 3
Aplicando a derivada da função externa
em
: pela fórmula dada,
Substituindo
teremos um fator
Note: não estamos ainda multiplicando pelo
; isso vem a seguir.
Passo 4
Agora diferenciamos
. Escrevo a raiz como potência para usar uma regra conhecida:
A regra de potência diz que, se
, então
No nosso caso
, então
. Assim
Pequena observação prática: isto exige que
para a raiz real; essa restrição do domínio vamos comentar depois.
Passo 5
Agora juntamos os dois resultados pela regra da cadeia:
Substituindo
e
obtemos a expressão intermediária
Passo 6
Simplificamos a expressão observando que
. Assim o fator no denominador fica
. Reorganizando os termos do denominador temos
Também podemos escrever de forma equivalente como
Passo 7
Comentário sobre domínio e existência da derivada (muito útil para a prova): a função original
exige
(para a raiz real) e
(sempre verdadeiro se
). Portanto
está definida quando
. A derivada encontrada tem denominação com
e
, logo em pontos onde
ou
o denominador zera e a derivada não existe (ou tende a infinito). Assim a derivada é válida para pontos com
.