Encontre a derivada da funçio trigonométrica inversa dada. Sabendo que a derivada de \operatorname{sen}^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
F(x)=\operatorname{sen}^{-1}(\sqrt{\operatorname{sen}(x)})

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
F(x)=\operatorname{sen}^{-1}\big(\sqrt{\operatorname{sen}(x)}\big),
sabendo que a derivada de \operatorname{sen}^{-1}(x) é
\frac{d}{dx}\big[\operatorname{sen}^{-1}(x)\big]=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Informações relevantes dadas:
  • A função a derivar é uma composição de três funções: \operatorname{sen}^{-1}, a raiz quadrada \sqrt{\cdot} e \operatorname{sen}(x).
  • Foi fornecida a fórmula da derivada da função inversa seno.
  • Devemos aplicar regras de derivação para composições (cadeia).

Passo 2

Vamos decompor a função em camadas para aplicar a regra da cadeia com calma. Defino:
u(x)=\sqrt{\operatorname{sen}(x)}
e então
F(x)=\operatorname{sen}^{-1}\big(u(x)\big).
A ideia é: primeiro diferencio \operatorname{sen}^{-1} em termos de u, depois multiplico pela derivada de u(x). Esta é a regra da cadeia: se F(x)=f(g(x)) então
F'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui f=\operatorname{sen}^{-1} e g=u.

Passo 3

Aplicando a derivada da função externa \operatorname{sen}^{-1} em u: pela fórmula dada,
\frac{d}{du}\big[\operatorname{sen}^{-1}(u)\big]=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Substituindo u=u(x) teremos um fator
\frac{1}{\sqrt{1-\big(u(x)\big)^{2}}}.
Note: não estamos ainda multiplicando pelo u'(x); isso vem a seguir.

Passo 4

Agora diferenciamos u(x)=\sqrt{\operatorname{sen}(x)}. Escrevo a raiz como potência para usar uma regra conhecida:
u(x)=\big(\operatorname{sen}(x)\big)^{1/2}.
A regra de potência diz que, se u(x)=v(x)^{1/2}, então
u'(x)=\tfrac{1}{2}v(x)^{-1/2}\,v'(x)=\frac{v'(x)}{2\sqrt{v(x)}}.
No nosso caso v(x)=\operatorname{sen}(x), então v'(x)=\cos x. Assim
u'(x)=\frac{\cos x}{2\sqrt{\operatorname{sen}(x)}}.
Pequena observação prática: isto exige que \operatorname{sen}(x)\ge 0 para a raiz real; essa restrição do domínio vamos comentar depois.

Passo 5

Agora juntamos os dois resultados pela regra da cadeia:
F'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\big(u(x)\big)^{2}}}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=\sqrt{\operatorname{sen}(x)} e u'(x)=\dfrac{\cos x}{2\sqrt{\operatorname{sen}(x)}} obtemos a expressão intermediária
F'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\big(\sqrt{\operatorname{sen}(x)}\big)^{2}}}\cdot\frac{\cos x}{2\sqrt{\operatorname{sen}(x)}}.

Passo 6

Simplificamos a expressão observando que \big(\sqrt{\operatorname{sen}(x)}\big)^{2}=\operatorname{sen}(x). Assim o fator no denominador fica \sqrt{1-\operatorname{sen}(x)}. Reorganizando os termos do denominador temos
F'(x)=\frac{\cos x}{2\sqrt{\operatorname{sen}(x)}\;\sqrt{1-\operatorname{sen}(x)}}.
Também podemos escrever de forma equivalente como
F'(x)=\frac{\cos x}{2\sqrt{\operatorname{sen}(x)\big(1-\operatorname{sen}(x)\big)}}.

Passo 7

Comentário sobre domínio e existência da derivada (muito útil para a prova): a função original F(x) exige \operatorname{sen}(x)\ge 0 (para a raiz real) e \sqrt{\operatorname{sen}(x)}\in[-1,1] (sempre verdadeiro se \operatorname{sen}(x)\in[0,1]). Portanto F está definida quando \operatorname{sen}(x)\in[0,1]. A derivada encontrada tem denominação com \sqrt{\operatorname{sen}(x)} e \sqrt{1-\operatorname{sen}(x)}, logo em pontos onde \operatorname{sen}(x)=0 ou \operatorname{sen}(x)=1 o denominador zera e a derivada não existe (ou tende a infinito). Assim a derivada é válida para pontos com \operatorname{sen}(x)\in(0,1).

Resposta

F'(x)=\frac{\cos x}{2\sqrt{\operatorname{sen}(x)}\;\sqrt{1-\operatorname{sen}(x)}}.

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