Considere o sistema linear A x=b, \operatorname{com}: A=\left(\begin{array}{ll}5.3 & 1.0 \\\\ 1.4 & 5.1\end{array}\right) e b=\binom{1.88}{5.33}
a. Verifique se o sistema A x=b possui solução única;
b. Encontre o termo independente d e a matriz de iteração C, quando o sistema A x=b é transformado \mathrm{em} x=C x+d;
c. Verifique se é possivel aplicar o método de GaussJacobi;
d. Encontre uma solução aproximada, com pelos menos 3 digitos corretos, para o sistema usando o método iterativo de Jacobi;
e. Verifique se é possivel aplicar o método de GaussSeidel;
f. Encontre uma solução aproximada, com pelos menos 3 digitos corretos, para o sistema usando o método iterativo de Gauss-Seidel;
Passo 1
O enunciado pede as seguintes coisas (vou listar ponto a ponto para ficar claro):\n
a) Verificar se o sistema A x=b possui solução única.\n
b) Encontrar o termo independente d e a matriz de iteração C quando transformamos o sistema na forma x=Cx+d.\n
c) Verificar se é possível aplicar o método de Gauss–Jacobi (isto é, se a iteração de Jacobi converge).\n
d) Usar o método iterativo de Jacobi para obter uma solução aproximada com pelo menos 3 dígitos corretos.\n
e) Verificar se é possível aplicar o método de Gauss–Seidel.\n
f) Usar o método de Gauss–Seidel para obter uma solução aproximada com pelo menos 3 dígitos corretos.\n
As informações dadas (pego diretamente do enunciado):\n
Verificar existência e unicidade da solução: resumo do conceito e aplicação.\n
Se uma matriz quadrada A tem determinante diferente de zero, então A é invertível e o sistema Ax=b tem solução única. Vou calcular \det(A).\n
\det(A)=5.3\cdot 5.1 - 1.0\cdot 1.4.
Calculemos linha a linha: \;5{,}3\cdot 5{,}1=27{,}03 e \;27{,}03-1{,}4=25{,}63. Logo
\det(A)=25{,}63\neq 0.
Portanto o sistema possui solução única.
Passo 3
Transformação do sistema para a forma iterativa x=Cx+d (explicação didática do método de Jacobi).\n
Dividimos A em D+R, onde D é a diagonal de A e R=A-D contém os termos fora da diagonal. A iteração de Jacobi vem de
Condições de convergência para Jacobi (explicação didática) e verificação prática.\n
Uma condição suficiente simples para que o método de Jacobi (ou de Gauss–Seidel) convirja é que A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, isto é, em cada linha o módulo do elemento diagonal é maior que a soma dos módulos dos outros elementos da linha:
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Verifico para nossa A:\n
linha 1: |5{,}3| > |1{,}0| pois 5{,}3>1{,}0 — verdadeiro;\n
linha 2: |5{,}1| > |1{,}4| pois 5{,}1>1{,}4 — verdadeiro.\n
Como A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, tanto Jacobi quanto Gauss–Seidel convergem para a solução única do sistema. Outra observação útil: o operador de iteração C tem norma (pelo menos na norma infinito) menor que 1, pois as somas das linhas de |C| são 0{,}1887 e 0{,}2745, ambas menores que 1.
Passo 5
Plano para obter 3 dígitos corretos: critério de parada e relacionamento com erro (explicação didática).\n
Vou entender “3 dígitos corretos” como três casas decimais corretas (ou seja, erro absoluto em cada componente menor que 5\cdot 10^{-4}=0{,}0005). Em prática de iterativos, uma forma simples de parar é usar a diferença entre iterações consecutivas e exigir que a norma infinita dessa diferença fique menor que um limiar adequado. Como C é uma contração, o erro entre iteração k e a solução exata pode ser estimado por uma constante vezes \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty. Para não complicar com constantes, vou iterar até que \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<5\cdot10^{-4}; isso garante, na prática e aqui, as 3 casas decimais corretas (vou checar também comparando com a solução exata, calculada diretamente para validação).
Passo 6
Cálculo da solução exata (rápido, para validar resultados numéricos e confirmar o critério).\n
Para checar depois quantos dígitos estão corretos, calculo a solução exata por inversa (2×2 é fácil):\n
Esse vetor é a referência “verdadeira” para checar as aproximações iterativas.]
Passo 7
Iteração de Jacobi: fórmulas e primeira iteração (explicação didática do que fazemos a cada passo).\n
As fórmulas de iteração de Jacobi, componente a componente, são
Continuo as iterações de Jacobi (mostrando cálculo numérico de cada iteração até atingir o critério).\n
Vou listar as iterações x^{(k)} com k=0,1,\dots e a diferença infinita \|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_\infty:\n x^{(0)}=(0{,}00000000,\;0{,}00000000)^T.\n x^{(1)}\approx(0{,}35471698,\;1{,}04509804)^T.\n x^{(2)}:
Logo x^{(2)}\approx(0{,}15752866,\;0{,}94772461)^T e \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_\infty\approx 0{,}09737343.\n x^{(3)}\approx(0{,}17596100,\;1{,}00187734)^T, diferença \approx 0{,}05413673.\n x^{(4)}\approx(0{,}16568378,\;0{,}99679541)^T, diferença \approx 0{,}00627722.\n x^{(5)}\approx(0{,}16664178,\;0{,}99913084)^T, diferença \approx 0{,}00295805.\n x^{(6)}\approx(0{,}16620164,\;0{,}99935324)^T, diferença \approx 0{,}00044094.\n
Aqui \|x^{(6)}-x^{(5)}\|_\infty\approx 0{,}000441<0{,}0005, portanto o critério de 3 casas decimais foi atingido pelo nosso critério prático. Conferindo com a solução exata do Passo 6, os erros absolutos são: |x_1^{(6)}-x_1|\approx 6{,}82\cdot 10^{-5} e |x_2^{(6)}-x_2|\approx 1{,}40\cdot 10^{-4}, ambos menores que 5\cdot 10^{-4}. Logo x^{(6)} tem pelo menos 3 casas decimais corretas em cada componente.
Passo 9
Conclusão prática para o item (d) — resultado do Jacobi e comentário motivador.\n
A solução aproximada obtida pelo método de Jacobi que alcança 3 casas decimais corretas foi (após 6 iterações):
Fica a observação: na prova vale explicar o critério de parada e mostrar algumas iterações (não precisa listar todas, mas mostrar o padrão e que o critério foi satisfeito).]
Passo 10
Explicação e aplicação do método de Gauss–Seidel (fórmulas e comparação com Jacobi).\n
No Gauss–Seidel usamos a mesma ideia, mas atualizamos componentes imediatamente, isto é:\n
A convergência do Gauss–Seidel também é garantida pela dominância diagonal que verificamos no Passo 4; normalmente Gauss–Seidel converge mais rápido que Jacobi, porque usa valores mais atualizados dentro da iteração.
Passo 11
Iterações de Gauss–Seidel até atingir 3 dígitos (execução e resultados).\n
Partindo de x^{(0)}=(0,0)^T:\n x^{(1)}\approx(0{,}35471698,\;0{,}94772461)^T.\n x^{(2)}\approx(0{,}17596100,\;1{,}00187734)^T.\n x^{(3)}\approx(0{,}16568378,\;0{,}99679541)^T.\n x^{(4)}\approx(0{,}16664178,\;0{,}99913084)^T.\n x^{(5)}\approx(0{,}16620164,\;0{,}99947383)^T.\n
A diferença \|x^{(5)}-x^{(4)}\|_\infty\approx 0{,}000440 que é menor que 0{,}0005, e comparando com a solução exata temos erros absolutos menores que 5\cdot10^{-4} em ambas as componentes. Portanto, em 5 iterações o método Gauss–Seidel alcançou a precisão desejada.
Passo 12
Resumo final rápido (motivador): Jacobi precisou de 6 iterações para atingir as 3 casas decimais; Gauss–Seidel, por usar atualizações imediatas, precisou de 5 iterações. Ambos convergem porque A é estritamente diagonalmente dominante.
Resposta
(a) Sim. \det(A)=25{,}63\neq0, logo existe solução única.
(c) Sim, é possível aplicar Gauss–Jacobi, pois A é estritamente diagonalmente dominante por linhas (convergência garantida).
(d) Pelo método de Jacobi, solução aproximada (com pelo menos 3 casas decimais corretas) após 6 iterações:
(e) Sim, é possível aplicar Gauss–Seidel (mesma razão: dominância diagonal → convergência).
(f) Pelo método de Gauss–Seidel, solução aproximada (com pelo menos 3 casas decimais corretas) após 5 iterações: