Considere o sistema linear
,
Obtenha o resíduo
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos o sistema linear
e que a gente precisa encontrar o resíduo
Conteúdo aqui é Álgebra Linear: vamos usar eliminação de Gauss pra resolver
e depois aplicar a definição de resíduo.
Passo 2
Primeiro, resolução do sistema por eliminação de Gauss (pivotando na coluna 1, 2, 3 e 4):
- A gente troca a linha 1 com a linha 2 pra ter um “1” no pivô:
- Elimina as outras entradas da coluna 1 subtraindo múltiplos da nova linha 1.
- Usa a linha 2 (com pivô em
) pra zerar a coluna 2 abaixo dela.x4 = 4, x3 = 3, x2 = 2, x1 = 1 - Usa a linha 3 (pivô em
) pra zerar a coluna 3 na linha 4.hat x = 1234 - No final você chega a um sistema triangular que dá, de baixo pra cima:
Ou seja, a solução exata é
Passo 3
Agora, definição de resíduo:
r = b - A,hat x
Calculemos
Ahat x = 4cdot1 + (-1)cdot2 + 3cdot3 + 8cdot4 1cdot1 + 6cdot2 + 2cdot3 + (-3)cdot4 5cdot1 + 5cdot2 + 1cdot3 + 0cdot4 2cdot1 + 4cdot2 + (-2)cdot3 + 1cdot4 = 437188 = b :
[
A\hat x =
r = b - Ahat x = b - b = 0000
= b.
]
Então