Resolva as equações diferenciais abaixo:
y^prime=x raiz1-y^2

Passo 1

Beleza, o enunciado manda resolver a equação diferencial
y' = x,raiz1 - y^2
Isso é uma EDO de primeira ordem e, pelo formato, é do tipo separável. Para resolver, vamos precisar de:
  1. separar as variáveis e ;
  2. saber que ;
  3. integrar dos dois lados e depois “desfazer” a função arco-seno pra isolar .

Passo 2

Começando a separar as variáveis, escrevemos
dydx = x,raiz1 - y^2
e passamos tudo que tiver dyraiz1 - y^2 = x,dx pra um lado e tudo que tiver pro outro:

Passo 3

Agora é só integrar cada lado:
integral dyraiz1 - y^2 ;=; integral x,dx
Pela tabela de integrais, a esquerda vira arcsin(y) = x^22 + C e a direita vira . Então:

Passo 4

Para isolar y = sin!l(tfracx^22 + Cr) , aplicamos o seno dos dois lados (que é a inversa do ):

Resposta

A solução geral da EDO é
boxedy(x) = sin!l(x^22 + Cr),
onde é a constante de integração.

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