Verifique que a função dada é uma solução explícita da equação diferencial ordinária em questão.
Passo 1
Resumo rápido do enunciado: a gente precisa mostrar que a função
y(x) = -\cos(x)\,\ln\bigl(\sec(x)+\tan(x)\bigr)
satisfaz a equação diferencial
y'' + y = \tan(x).
Matéria envolvida: derivadas (regra do produto e regra da cadeia) e identidades trigonométricas. A gente vai calcular y′, depois y″ e, por fim, checar que y″+y fica igual a tan(x).
Passo 2
Calcular y′(x) usando regra do produto e cadeia. Escreve-se
u(x)=−cos x e v(x)=ln(sec x+tan x).
Então
y′ = u′·v + u·v′.
u(x)=−cos x e v(x)=ln(sec x+tan x).
Então
y′ = u′·v + u·v′.
- u′(x)=sin x.
- Para v′, note que v(x)=ln(f(x)) com f(x)=sec x+tan x, então
v′=f′/f.
E
f′(x)=d(sec x)/dx + d(tan x)/dx = sec x tan x + sec² x
= sec x (tan x+sec x).
Logo
v′ = [sec x (tan x+sec x)]/[sec x+tan x] = sec x.
Passo 3
Substituindo em y′:
y′ = sin x·ln(sec x+tan x) + [−cos x]·[sec x]
= sin x ln(sec x+tan x) − cos x·sec x
= sin x ln(sec x+tan x) − 1.
y′ = sin x·ln(sec x+tan x) + [−cos x]·[sec x]
= sin x ln(sec x+tan x) − cos x·sec x
= sin x ln(sec x+tan x) − 1.
Passo 4
Agora y″ = d/dx [sin x ln(sec x+tan x) − 1].
Só o primeiro termo importa (−1 some ao derivar):
d[sin x ln(…)]= cos x·ln(sec x+tan x) + sin x·d[ln(…)]
e já vimos que d[ln(…)] = sec x.
Então
y″ = cos x ln(sec x+tan x) + sin x·sec x
= cos x ln(sec x+tan x) + tan x.
Só o primeiro termo importa (−1 some ao derivar):
d[sin x ln(…)]= cos x·ln(sec x+tan x) + sin x·d[ln(…)]
e já vimos que d[ln(…)] = sec x.
Então
y″ = cos x ln(sec x+tan x) + sin x·sec x
= cos x ln(sec x+tan x) + tan x.
Passo 5
Finalmente, monta-se y″ + y:
y″ + y
= [cos x ln(sec x+tan x) + tan x] + [−cos x ln(sec x+tan x)]
= tan x.
y″ + y
= [cos x ln(sec x+tan x) + tan x] + [−cos x ln(sec x+tan x)]
= tan x.
Resposta
De fato, y″ + y = tan x, logo
y(x)=−cos x ln(sec x+tan x)
é solução explícita da EDO dada.
y(x)=−cos x ln(sec x+tan x)
é solução explícita da EDO dada.