Verifique que a função dada é uma solução explícita da equação diferencial ordinária em questão.
y^prime prime+y=tan (x) ; y(x)=-cos (x) ln (sec (x)+tan (x))

Passo 1

Resumo rápido do enunciado: a gente precisa mostrar que a função
y(x) = -\cos(x)\,\ln\bigl(\sec(x)+\tan(x)\bigr)  
satisfaz a equação diferencial
y'' + y = \tan(x).  
Matéria envolvida: derivadas (regra do produto e regra da cadeia) e identidades trigonométricas. A gente vai calcular y′, depois y″ e, por fim, checar que y″+y fica igual a tan(x).

Passo 2

Calcular y′(x) usando regra do produto e cadeia. Escreve-se
u(x)=−cos x e v(x)=ln(sec x+tan x).
Então
y′ = u′·v + u·v′.
  1. u′(x)=sin x.
  2. Para v′, note que v(x)=ln(f(x)) com f(x)=sec x+tan x, então
    v′=f′/f.
    E
    f′(x)=d(sec x)/dx + d(tan x)/dx = sec x tan x + sec² x
    = sec x (tan x+sec x).
    Logo
    v′ = [sec x (tan x+sec x)]/[sec x+tan x] = sec x.

Passo 3

Substituindo em y′:
y′ = sin x·ln(sec x+tan x) + [−cos x]·[sec x]
= sin x ln(sec x+tan x) − cos x·sec x
= sin x ln(sec x+tan x) − 1.

Passo 4

Agora y″ = d/dx [sin x ln(sec x+tan x) − 1].
Só o primeiro termo importa (−1 some ao derivar):
d[sin x ln(…)]= cos x·ln(sec x+tan x) + sin x·d[ln(…)]
e já vimos que d[ln(…)] = sec x.
Então
y″ = cos x ln(sec x+tan x) + sin x·sec x
= cos x ln(sec x+tan x) + tan x.

Passo 5

Finalmente, monta-se y″ + y:
y″ + y
= [cos x ln(sec x+tan x) + tan x] + [−cos x ln(sec x+tan x)]
= tan x.

Resposta

De fato, y″ + y = tan x, logo
y(x)=−cos x ln(sec x+tan x)
é solução explícita da EDO dada.

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