Exercício 2 Considere o sistema linear
c 10 x1+2 x2+x3=7 x1+5 x2+x3=-8 2 x1+3 x2+10 x3=6
Resolva pelo Método Iterativo de Gauss-Jacobi com x^(0)=(c0.7 -1.6 0.6) e varepsilon=0.05 (se não estiver implementando) e varepsilon=0.0001 (caso contrário).

Passo 1

O enunciado pede para resolver pelo método de Gauss–Jacobi o sistema
10x1+2x2+x3=7, x1+5x2+x3=-8, 2x1+3x2+10x3=6,
usando o chute inicial
x^(0)=0.7-1.60.6
e critério de parada varepsilon=0,05. Para isso, vamos: (i) verificar convergência por dominância diagonal, (ii) montar as fórmulas de iteração de Gauss–Jacobi, (iii) iterar até que a norma infinita |x^(k+1)-x^(k)|infty<0,05.

Passo 2

Como o sistema é estritamente diagonalmente dominante (por exemplo, |2|+|1|=3<10 na primeira equação, etc.), garantimos convergência. As fórmulas de Gauss–Jacobi são obtidas isolando xi em cada linha e usando sempre os valores da iteração anterior:
x1^(k+1)=7-2x2^(k)-x3^(k)10, x2^(k+1)=-8-x1^(k)-x3^(k)5, x3^(k+1)=6-2x1^(k)-3x2^(k)10

Passo 3

Aplicando as fórmulas a x^(0)=(0,7,,-1,6,,0,6):
x1^(1)=7-2(-1,6)-0,610=9,610=0,96, x2^(1)=-8-0,7-0,65=-9,35=-1,86,
x3^(1)=6-2(0,7)-3(-1,6)10=9,410=0,94
Logo
x^(1)=(0,96,,-1,86,,0,94)

Passo 4

Repetindo para x^(1):
x1^(2)=7-2(-1,86)-0,9410=9,7810=0,978, x2^(2)=-8-0,96-0,945=-9,95=-1,98,
x3^(2)=6-2(0,96)-3(-1,86)10=9,6610=0,966
Então
x^(2)=(0,978,,-1,98,,0,966)

Passo 5

Mais uma iteração para x^(2):
x1^(3)=7-2(-1,98)-0,96610=9,99410=0,9994, x2^(3)=-8-0,978-0,9665=-9,9445=-1,9888,
x3^(3)=6-2(0,978)-3(-1,98)10=9,98410=0,9984,
x^(3)=(0,9994,,-1,9888,,0,9984)
Agora calculamos a norma infinita do erro:
|x^(3)-x^(2)|infty=max,|0,9994-0,978|,;|-1,9888+1,98|,;|0,9984-0,966|approx0,0324<0,05,
portanto o critério de parada está satisfeito em k=3.

Resposta

A solução aproximada obtida por Gauss–Jacobi é
xapproxl(0,9994,,-1,9888,,0,9984r)^T,
com convergência em 3 iterações.

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