Considere o sistema linear A x=b, onde A é uma matriz n times n, x e b vetores colunas n times 1. Verifique calculando os menores principais de A se esta matriz admite uma decomposição LU. No caso de resposta afirmativa, encontre a solução do sistema A x=b a partir da decomposição LU sabendo que
b=[l 1 2 3 ] para os itens (i) a (v) e b=[l 1 2 3 4 ] para o item (vi)
A=[lll2 & 0 & 0 1 & 3 & 0 1 & 1 & 1]

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente olhar o sistema linear A = 2 & 0 & 0 1 & 3 & 0 1 & 1 & 1 , b = 123, , com
verificar pelos menores principais se rola uma decomposição sem pivô, e, se rolar, usar essa decomposição pra achar . Isso é parte de Álgebra Linear, mais especificamente métodos diretos de resolução de sistemas.

Passo 2

Verificar os menores principais de De.
Menor principal de ordem 1 (o primeiro elemento):
De
Menor principal de ordem 2 (top-left 2×2):
De
Menor principal de ordem 3 (a própria ):
Como todos são não-zero, sem pivoteamento dá pra fazer .

Passo 3

Vamos achar A = LU, L = 1 & 0 & 0 ell21&1&0 ell31&ell32&1 ,; U = u11&u12&u13 0&u22&u23 0&0&u33 (lower com 1’s na diagonal) e L = 1 & 0 & 0 12 & 1 & 0 12 & tfrac13 & 1 , U = 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 1 (upper).
Escrevendo
Comparando elemento a elemento:
  • .
  • Da linha 2, coluna 1: .
  • Da linha 3, coluna 1: .
  • , (vem direto de ).
  • vem de: na linha 2, col 2, .
  • .
  • vem de: linha 3, col 2, .
  • Finalmente de: linha 3, col 3, .
Então

Passo 4

Agora resolvemos (substituição pra frente):
  1. .
Então .

Passo 5

Agora (substituição pra trás):
  1. Da linha 3:
  2. Da linha 2:
  3. Da linha 1:

Resposta

x = 1/21/22

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