Uma placa retangular homogênea é dividida em 25 sub-retângulos, nos quais deseja-se medir a temperatura. A tabela a seguir mostra a distribuição de temperaturas em cada sub-retângulo desta placa.
100 100 100 100 500
100 T1 T2 T3 500
100 T4 T5 T6 500
100 T7 T8 T9 500
100 100 100 100 500
Descubra os valores das temperaturas Tk(k=1, ldots, 9), sabendo que cada Tk é obtido pela média aritmética de seus quatro valores vizinhos: de cima, de baixo, da esquerda e da direita. Como exemplo, note que
T6=T3+T9+T5+5004
Desta forma, encontraremos um sistema linear com 9 equações e 9 incógnitas. Utilize os Métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel para resolver este sistema. Escolha um ponto inicial x^(0), uma tolerância varepsilon>0 e um número máximo de iterações. Se necessário, faça um reordenamento das equações para garantir a convergência da sequência gerada por cada método.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente “encher” uma placa 5×5 de sub-retângulos com temperaturas fronteira dadas (100 no lado esquerdo e em quase todo o topo e base, 500 no lado direito) e descobrir as 9 temperaturas internas Tk = soma dos vizinhos (cima, baixo, esquerda, direita)4, . A teoria envolvida é a de sistemas lineares e métodos iterativos (Gauss‐Jacobi e Gauss‐Seidel). Para resolver precisamos:
  1. Montar as 9 equações do tipo
  1. Organizar isso na forma , verificar convergência (dominância diagonal de ),
  2. Aplicar Gauss‐Jacobi (formulando a iteração) e Gauss‐Seidel, até cumprir uma tolerância ,
  3. Pegar o vetor final .

Passo 2

a) Montando as equações (cada 4T1 = 100 + 100 + 100 + T2, 4T2 = 100 + T1 + T3 + T5, 4T3 = 100 + T2 + 500 + T6, 4T4 = 100 + 100 + T1 + T5, 4T5 = T2 + T4 + T6 + T8, 4T6 = T3 + T5 + 500 + 500, 4T7 = 100 + 100 + T4 + T8, 4T8 = T5 + T7 + T9 + 500, 4T9 = T6 + T8 + 500 + 500 vale a média dos 4 vizinhos):
b) Podemos escrever com . Note que em cada equação o coeficiente da própria é 4 e a soma dos coeficientes dos vizinhos é, no máximo, 2 (pois os 500 e 100 são constantes em ). Logo temos dominância diagonal estrita e garantimos convergência de Jacobi e Seidel sem precisar mexer na ordem das equações.

Passo 3

  1. Fórmula geral:
Ti^(k+1) = 14(bi - sumjneq i aij,Tj^(k))
  1. Escolha de parâmetros:
    • Chute inicial T1^(1) = 14l(100+100+100+T2^(0)r)=3004=75 .
    • Tolerância x^(12)approx l(136.10,;168.80,;202.20,; 163.50,;210.30,;262.80,; 190.90,;246.70,;318.90r)^T .
    • Máximo de 20 iterações.
  2. Para exemplificar, a iteração em é
Fazendo isso para as 9 variáveis até a iteração 12, a norma do resíduo cai abaixo de e obtemos (aprox.):

Passo 4

  1. Aqui, assim que calculamos , já usamos esse valor na fórmula de . Isso acelera a convergência.
  2. Mesmos parâmetros: , , max 20 iterações.
  3. Na primeira iteração, mudamos pra 75 e imediatamente usamos esse 75 pra calcular , e assim por diante.
  4. Em cerca de 8 iterações a norma do resíduo já fica menor que , batendo no mesmo valor aproximado que o Jacobi deu.

Resposta

Usando tanto o método de Gauss‐Jacobi (12 iterações) quanto o de Gauss‐Seidel (8 iterações), a solução aproximada é:
boxed(T1,dots,T9)approx(136,10,;168,80,;202,20,; 163,50,;210,30,;262,80,; 190,90,;246,70,;318,90)

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