Uma placa retangular homogênea é dividida em 25 sub-retângulos, nos quais deseja-se medir a temperatura. A tabela a seguir mostra a distribuição de temperaturas em cada sub-retângulo desta placa.
100
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Descubra os valores das temperaturas , sabendo que cada é obtido pela média aritmética de seus quatro valores vizinhos: de cima, de baixo, da esquerda e da direita. Como exemplo, note que
Desta forma, encontraremos um sistema linear com 9 equações e 9 incógnitas. Utilize os Métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel para resolver este sistema. Escolha um ponto inicial , uma tolerância e um número máximo de iterações. Se necessário, faça um reordenamento das equações para garantir a convergência da sequência gerada por cada método.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente “encher” uma placa 5×5 de sub-retângulos com temperaturas fronteira dadas (100 no lado esquerdo e em quase todo o topo e base, 500 no lado direito) e descobrir as 9 temperaturas internas . A teoria envolvida é a de sistemas lineares e métodos iterativos (Gauss‐Jacobi e Gauss‐Seidel). Para resolver precisamos:
Montar as 9 equações do tipo
Organizar isso na forma , verificar convergência (dominância diagonal de ),
Aplicar Gauss‐Jacobi (formulando a iteração) e Gauss‐Seidel, até cumprir uma tolerância ,
Pegar o vetor final .
Passo 2
a) Montando as equações (cada vale a média dos 4 vizinhos):
b) Podemos escrever com . Note que em cada equação o coeficiente da própria é 4 e a soma dos coeficientes dos vizinhos é, no máximo, 2 (pois os 500 e 100 são constantes em ). Logo temos dominância diagonal estrita e garantimos convergência de Jacobi e Seidel sem precisar mexer na ordem das equações.