Considere o sistema linear A x=b, onde A é uma matriz n times n, x e b vetores colunas n times 1. Verifique calculando os menores principais de A se esta matriz admite uma decomposição LU. No caso de resposta afirmativa, encontre a solução do sistema A x=b a partir da decomposição LU sabendo que
b=[l 1 2 3 ] para os itens (i) a (v) e b=[l 1 2 3 4 ] para o item (vi)
A=[lll2 & 4 & 5 4 & 3 & 6 5 & 6 & 4]

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos o sistema linear
A x = b
com
A = 2 & 4 & 54 & 3 & 65 & 6 & 4, b = 123
O conteúdo aqui é “Decomposição LU” – ou seja, escrever , onde é triangular inferior (com 1’s na diagonal) e triangular superior.
Pra ver se isso rola sem fazer pivotamento, a teoria pede que todos os menores principais (determinantes dos de cima-esquerda) sejam diferentes de zero. Se der certo, usamos e pra achar a solução .

Passo 2

Calcular os menores principais de De:
  1. Menor de ordem 1 (primeiro elemento):
    De.
  2. Menor de ordem 2 (os 2×2 de cima à esquerda):
  1. Menor de ordem 3 (determinante de inteira):

Passo 3

Como , e , todos os menores principais são não nulos.
Isso garante que existe a decomposição sem troca de linhas.

Passo 4

Vamos montar U11=2, U12=4, U13=5 e U22=3 - L21,U12 =3 - 2cdot4 =-5, pelo método de Doolittle (diagonal de U23=6 - L21,U13 =6 - 2cdot5 =-4 é 1):
  • Primeiro, na linha 1 de U33 =4 - L31U13 - L32U23 =4 - 2,5cdot5 - 0,8cdot(-4) =-5,3 : L= 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 2,5 & 0,8 & 1 , U= 2 & 4 & 5 0 & -5 & -4 0 & 0 & -5,3
  • Definimos , .
  • Agora o pivô : e
  • Depois,
  • Por fim,
Logo

Passo 5

Agora a gente resolve (substituição pra frente):

Passo 6

Depois a gente resolve (substituição pra trás):

Resposta

A matriz x = 3153[0.3em] 453[0.3em] -553 admite decomposição LU sem pivoteamento e a solução do sistema é

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