Considere o sistema linear , onde é uma matriz e vetores colunas . Verifique calculando os menores principais de se esta matriz admite uma decomposição LU. No caso de resposta afirmativa, encontre a solução do sistema a partir da decomposição LU sabendo que
A=[lll2 & 4 & 5 4 & 3 & 6 5 & 6 & 4]
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos o sistema linear
A x = b
com A = 2 & 4 & 54 & 3 & 65 & 6 & 4, b = 123
O conteúdo aqui é “Decomposição LU” – ou seja, escrever , onde é triangular inferior (com 1’s na diagonal) e triangular superior.
Pra ver se isso rola sem fazer pivotamento, a teoria pede que todos os menores principais (determinantes dos de cima-esquerda) sejam diferentes de zero. Se der certo, usamos e pra achar a solução .
Passo 2
Calcular os menores principais de De:
Menor de ordem 1 (primeiro elemento): De.
Menor de ordem 2 (os 2×2 de cima à esquerda):
Menor de ordem 3 (determinante de inteira):
Passo 3
Como , e , todos os menores principais são não nulos.
Isso garante que existe a decomposição sem troca de linhas.
Passo 4
Vamos montar U11=2, U12=4, U13=5 e U22=3 - L21,U12 =3 - 2cdot4 =-5, pelo método de Doolittle (diagonal de U23=6 - L21,U13 =6 - 2cdot5 =-4 é 1):