Reordene as equações convenientemente e aplique o método de Gauss-Seidel com garantia de convergência (use x0=(3,6,8,9)^T e epsilon=10^-2 ).
Passo 1
Beleza, o exercício pede para resolver um sistema de 4 equações e 4 incógnitas usando o método de Gauss–Seidel, mas antes reordenando as equações para garantir convergência. O conteúdo aqui é “métodos iterativos para sistemas lineares” e vamos precisar:
Reordenar as equações de modo que a matriz fique diagonalmente dominante (pelo menos em valor absoluto) ou em condições que nos deem “garantia de convergência”.
Montar as fórmulas de Gauss–Seidel (isto é, isolar cada em cada linha reordenada).
Escolher uma norma de erro (usamos a norma infinito, ) e iterar até que essa diferença fique abaixo de .
de modo que cada linha fique “bem comportada”. Chamamos isso de ordenar como (2), (1), (3), (4). Agora isolamos em cada equação:
⇒ .
⇒ .
⇒ .
⇒ .
Passo 3
No Gauss–Seidel, na iteração x1^(k+1) = 1 + x2^(k)2,[1em] x2^(k+1) = 1 + x1^(k+1) + x3^(k)2,[1em] x3^(k+1) = 1 + x2^(k+1) + x4^(k)2,[1em] x4^(k+1) = 1 + x3^(k+1) cada |x^(k+1) - x^(k)|infty = maxi l|,xi^(k+1) - xi^(k)r| já usa os valores mais atualizados das incógnitas anteriores. Logo as fórmulas de iteração são:
Para medir o erro, usamos
e paramos quando isso fica abaixo de .
Passo 4
Começando com x^(1) = (3,5,;6,25,;8,125,;9,125), |x^(1)-x^(0)|infty = 0,50 , aplicamos as fórmulas. Nas primeiras iterações temos: