Considere os sistemas lineares A x=b, seguinte:
(a) A=(ccc10 & -1 & 4 1 & 10 & 9 2 & -3 & -10), x=(l x1 x2 x3 ) e b=(l 5 2 9 ).
(b) A=(ccc50 & -1 & 4 1 & 50 & 9 2 & -3 & -50), x=(l x1 x2 x3 ) e b=(l 45 42 49 ).
Entre os método iterativos estudados, qual você aplicaria? Por quê? Resolva os sistemas pelo método escolhido (precisão epsilon=10^-2 e chute inicial x^(0)=(0,0,0) ) e analise a taxa de convergência.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem dois sistemas lineares Ax=b (o (a) e o (b)). A tarefa é escolher um método iterativo (Jacobi ou Gauss–Seidel), justificar por que ele funciona, resolver cada sistema com precisão epsilon=10^-2 partindo de x^(0)=(0,0,0) e depois comparar a rapidez com que cada um converge. O conteúdo é “métodos iterativos para sistemas lineares” e a gente vai usar o critério de dominância diagonal pra garantir que o método converge.

Passo 2

Antes de meter a mão na massa, vamos falar da teoria rapidinho:
  1. Método iterativo: a gente escreve cada xi isolado na sua equação, gera uma fórmula x^(k+1)=Tl(x^(k)r)+c e itera até que |x^(k+1)-x^(k)|.
  2. Critério de convergência: se a matriz A for (estritamente) diagonalmente dominante — isto é, em cada linha o módulo do elemento diagonal é maior que a soma dos módulos dos outros elementos dessa linha — então tanto Jacobi quanto Gauss–Seidel convergem.
  3. Jacobi vs. Gauss–Seidel: no Jacobi você usa sempre os valores da iteração antiga, já no Gauss–Seidel você vai aproveitando os valores novos assim que aparecem, acelerando a convergência.
Como nossos dois A são diagonalmente dominantes, escolhemos Gauss–Seidel pra ser mais rápido.

Passo 3

Resolvendo o sistema (a) com Gauss–Seidel. As equações são:
10x1 - x2 + 4x3 = 5, x1 + 10x2 +9x3 = 2, 2x1 -3x2 -10x3 = 9
Isolando em Gauss–Seidel:
x1^(k+1) &= 5 + x2^(k) -4,x3^(k)10, x2^(k+1) &= 2 - x1^(k+1) -9,x3^(k)10, x3^(k+1) &= 9 -2,x1^(k+1) +3,x2^(k+1)-10
Chute inicial x^(0)=(0,0,0). A gente itera até que maxi|xi^(k+1)-xi^(k)|<10^-2.
Faça as contas (ou use uma planilha) e você encontra, após 5 iterações:
x^(5)approx 1.00028 1.00032 -1.00004 ,
e a diferença máxima entre iterações ficou abaixo de 10^-2.

Passo 4

Agora o sistema (b):
50x1 - x2 +4x3 = 45, x1 +50x2 +9x3 = 42, 2x1 -3x2 -50x3 = 49
Fórmulas GS:
x1^(k+1) &= 45 + x2^(k) -4,x3^(k)50, x2^(k+1) &= 42 - x1^(k+1) -9,x3^(k)50, x3^(k+1) &= 49 -2,x1^(k+1) +3,x2^(k+1)-50
De novo x^(0)=(0,0,0) e mesma parada maxi|xi^(k+1)-xi^(k)|<10^-2. Você vai ver que em 3 iterações já caiu abaixo de 10^-2 e dá:
x^(3)approx 0.99999 1.00002 -1.00000

Passo 5

Análise da taxa de convergência:
  • No sistema (a) deu 5 iterações.
  • No sistema (b) só 3 iterações.
Por que? O (b) tem dominância diagonal mais forte (elementos diagonais muito maiores), o que reduz o raio espectral da matriz de iteração e faz o método convergir mais rápido.

Resposta

(a) Gauss–Seidel em 5 iterações:
xapprox(1.00028,;1.00032,;-1.00004).
(b) Gauss–Seidel em 3 iterações:
xapprox(0.99999,;1.00002,;-1.00000).
O sistema (b) converge mais rápido graças à dominância diagonal mais forte.

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