Considere os sistemas lineares , seguinte:
(a) e b=(l 5 2 9 ).
(b) A=(ccc50 & -1 & 4 1 & 50 & 9 2 & -3 & -50), x=(l x1 x2 x3 ) e b=(l 45 42 49 ).
Entre os método iterativos estudados, qual você aplicaria? Por quê? Resolva os sistemas pelo método escolhido (precisão epsilon=10^-2 e chute inicial x^(0)=(0,0,0) ) e analise a taxa de convergência.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem dois sistemas lineares Ax=b (o (a) e o (b)). A tarefa é escolher um método iterativo (Jacobi ou Gauss–Seidel), justificar por que ele funciona, resolver cada sistema com precisão epsilon=10^-2 partindo de x^(0)=(0,0,0) e depois comparar a rapidez com que cada um converge. O conteúdo é “métodos iterativos para sistemas lineares” e a gente vai usar o critério de dominância diagonal pra garantir que o método converge.
Passo 2
Antes de meter a mão na massa, vamos falar da teoria rapidinho:
Método iterativo: a gente escreve cada xi isolado na sua equação, gera uma fórmula x^(k+1)=Tl(x^(k)r)+c e itera até que |x^(k+1)-x^(k)|.
Critério de convergência: se a matriz A for (estritamente) diagonalmente dominante — isto é, em cada linha o módulo do elemento diagonal é maior que a soma dos módulos dos outros elementos dessa linha — então tanto Jacobi quanto Gauss–Seidel convergem.
Jacobi vs. Gauss–Seidel: no Jacobi você usa sempre os valores da iteração antiga, já no Gauss–Seidel você vai aproveitando os valores novos assim que aparecem, acelerando a convergência.
Como nossos dois A são diagonalmente dominantes, escolhemos Gauss–Seidel pra ser mais rápido.
Passo 3
Resolvendo o sistema (a) com Gauss–Seidel. As equações são:
Chute inicial x^(0)=(0,0,0). A gente itera até que maxi|xi^(k+1)-xi^(k)|<10^-2.
Faça as contas (ou use uma planilha) e você encontra, após 5 iterações:
x^(5)approx 1.00028 1.00032 -1.00004 ,
e a diferença máxima entre iterações ficou abaixo de 10^-2.
De novo x^(0)=(0,0,0) e mesma parada maxi|xi^(k+1)-xi^(k)|<10^-2. Você vai ver que em 3 iterações já caiu abaixo de 10^-2 e dá:
x^(3)approx 0.99999 1.00002 -1.00000
Passo 5
Análise da taxa de convergência:
No sistema (a) deu 5 iterações.
No sistema (b) só 3 iterações.
Por que? O (b) tem dominância diagonal mais forte (elementos diagonais muito maiores), o que reduz o raio espectral da matriz de iteração e faz o método convergir mais rápido.
Resposta
(a) Gauss–Seidel em 5 iterações: xapprox(1.00028,;1.00032,;-1.00004).
(b) Gauss–Seidel em 3 iterações: xapprox(0.99999,;1.00002,;-1.00000).
O sistema (b) converge mais rápido graças à dominância diagonal mais forte.