Reorganize o sistema abaixo de forma que tenha convergência garantida e resolva pelo método de Gauss-Seidel com precisão varepsilon=5 times 10^-2.
c x1+10 x2=2 x2+10 x4=10 10 x1-x3=10 2 x3-x4=19

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra reorganizar esse sistema de 4 equações de 4 incógnitas de modo a garantir convergência pelo método de Gauss–Seidel e depois iterar até um erro menor que ε = 5×10⁻². Isso é conteúdo de “métodos iterativos para sistemas lineares”, e a ideia-chave é deixar a matriz obtida estritamente diagonalmente dominante antes de começar a iterar.

Passo 2

Pra garantir convergência do Gauss–Seidel, a gente quer que, em cada linha i da matriz A, o módulo do coeficiente diagonal seja maior que a soma dos módulos dos outros coeficientes daquela linha:
|aii| > sumjne i|aij|
Vamos trocar a ordem das equações (mas manter as incógnitas na ordem x1,x2,x3,x4) para criar essa dominância. Se reescrevermos as equações assim:
1) 10x1 - x3 = 10
2) x1 + 10x2 = 2
3) 2x3 - x4 = 19
4) x2 + 10x4 = 10
a matriz de coeficientes fica
$$
10 & 0 & -1 & 0 1 & 10 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & -1 0 & 1 & 0 & 10 , ,
$$
e cada linha satisfaz |aii| > sumjne i|aij|. Pronto, convergência garantida.

Passo 3

Agora, montamos as fórmulas de iteração Gauss–Seidel. A regra geral é:
xi^(k+1) = 1aiil(bi - sumjiaijxj^(k)r)
No nosso caso, fica:
$$
x1^(k+1) &= tfrac110,l(10 + x3^(k)r), x2^(k+1) &= tfrac110,l(2 - x1^(k+1)r), x3^(k+1) &= tfrac12,l(19 + x4^(k)r), x4^(k+1) &= tfrac110,l(10 - x2^(k+1)r)
$$
Começamos com chute inicial (0,0,0,0) e iteramos até maxi|xi^(k+1)-xi^(k)|<0.05.

Passo 4

Vamos às iterações (mostro só as duas primeiras, já que logo atinge o critério):
k=0→1:
x1^1 &=tfrac10+010=1, x2^1 &=tfrac2-110=0.1, x3^1 &=tfrac19+02=9.5, x4^1 &=tfrac10-0.110=0.99
k=1→2:
x1^2 &=tfrac10+9.510=1.95, x2^2 &=tfrac2-1.9510=0.005, x3^2 &=tfrac19+0.992=9.995, x4^2 &=tfrac10-0.00510=0.9995
As diferenças máximas são |1.95-1|=0.95, |0.005-0.1|=0.095, |9.995-9.5|=0.495, |0.9995-0.99|=0.0095. Ainda >0.05, então vamos uma última:
k=2→3:
x1^3 &=tfrac10+9.99510=1.9995, x2^3 &=tfrac2-1.999510=0.00005, x3^3 &=tfrac19+0.99952=9.99975, x4^3 &=tfrac10-0.0000510=0.999995
Agora a maior variação é |1.9995-1.95|=0.0495<0.05. Critério atendido.

Resposta

x1approx1.9995, x2approx0.00005, x3approx9.99975, x4approx0.999995 (atinge ε=0.05 em 3 iterações).

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