Considere o sistema linear:
rllx1-2 x2+x3 & = & 0 2 x1-2 x2+x3 & = & 2 3 x1-2 x2-2 x3 & = & -1
Resolva utilizando:
Eliminação de Gauss (sem e com pivoteamento parcial)

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
x1-2x2+x3=0, 2x1-2x2+x3=2, 3x1-2x2-2x3=-1,
e pede para resolver usando eliminação de Gauss sem e com pivoteamento parcial. O conteúdo aqui é transformar a matriz aumentada em forma triangular superior e depois aplicar substituição regressiva; no caso com pivoteamento parcial, escolhemos o maior valor em módulo como pivô em cada coluna antes de eliminar.

Passo 2

Eliminação de Gauss sem pivoteamento parcial. Montamos a matriz aumentada
1 & -2 & 1 & l|r & 0 2 & -2 & 1 & l|r & 2 3 & -2 & -2 & l|r & -1
Usamos L2 L2-2L1 e L3 L3-3L1, obtendo
1 & -2 & 1 & l|r & 0 0 & 2 & -1 & l|r & 2 0 & 4 & -5 & l|r & -1
Em seguida aplicamos L3 L3-2L2 para zerar o termo a32, resultando em
1 & -2 & 1 & l|r & 0 0 & 2 & -1 & l|r & 2 0 & 0 & -3 & l|r & -5

Passo 3

Substituição regressiva sem pivoteamento:
Da terceira equação triangular vem
-3,x3=-5Longrightarrow x3=53
Da segunda equação 2x2-x3=2 segue
2x2-53=2Longrightarrow 2x2=113Longrightarrow x2=116
Da primeira equação x1-2x2+x3=0 obtemos
x1-2cdot116+53=0 Longrightarrow x1=2

Passo 4

Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial. Montamos de novo a matriz
1 & -2 & 1 & l|r & 0 2 & -2 & 1 & l|r & 2 3 & -2 & -2 & l|r & -1
Na coluna 1, o maior pivô em módulo é |3| na terceira linha, então trocamos L1rightarrow L3:
3 & -2 & -2 & l|r & -1 2 & -2 & 1 & l|r & 2 1 & -2 & 1 & l|r & 0
Agora zeramos abaixo de a11 com L2 L2-tfrac23L1 e L3 L3-tfrac13L1, ficando
3 & -2 & -2 & l|r & -1 0 & -tfrac23 & tfrac73 & l|r & tfrac83 0 & -tfrac43 & tfrac53 & l|r & tfrac13
Na coluna 2, o maior pivô em módulo é l|-tfrac43r|, que está em L3, então trocamos L2rightarrow L3:
3 & -2 & -2 & l|r & -1 0 & -tfrac43 & tfrac53 & l|r & tfrac13 0 & -tfrac23 & tfrac73 & l|r & tfrac83
Por fim, zeramos a32 com L3 L3-tfrac1/21L2 já que tfrac-2/3-4/3=tfrac12, obtendo
3 & -2 & -2 & l|r & -1 0 & -tfrac43 & tfrac53 & l|r & tfrac13 0 & 0 & tfrac32 & l|r & tfrac52

Passo 5

Substituição regressiva com pivoteamento parcial:
Da última linha
tfrac32,x3=tfrac52Longrightarrow x3=53
Da segunda linha
-tfrac43,x2+tfrac53,53=tfrac13 Longrightarrow x2=116
Da primeira linha
3x1-2cdot116-2cdot53=-1 Longrightarrow x1=2

Resposta

x1=2, x2=116, x3=53

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