Considere o sistema linear:
rllx1-2 x2+x3 & = & 0 2 x1-2 x2+x3 & = & 2 3 x1-2 x2-2 x3 & = & -1
Resolva utilizando:
Decomposição LU (sem e com pivoteamento parcial)

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear Ax=b, com
A = 1 & -2 & 1 2 & -2 & 1 3 & -2 & -2 , b = 02-1,
e pede a solução por decomposição LU sem pivoteamento e com pivoteamento parcial. Para isso precisamos fatorar A=LU (ou PA=LU) e depois resolver Ly=b, Ux=y.

Passo 2

Decomposição LU sem pivoteamento
1. Pivot em ;a11=1; eliminamos abaixo:
ell21 = 21 = 2,;ell31=31=3
Atualizamos linhas:
R2 R2 - 2R1 = (0,;2,;-1), R3 R3 - 3R1 = (0,;4,;-5)
2. Pivot em ;u22=2; eliminamos abaixo:
ell32=42=2
R3 R3 - 2R2 = (0,;0,;-3)
Logo
L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 2 & 1 , U = 1 & -2 & 1 0 & 2 & -1 0 & 0 & -3 ,
com A = LU.

Passo 3

Resolvendo Ly=b e depois Ux=y. Ly=b:
y1 = 0, y2 = 2 - 2y1 = 2, y3 = -1 - 3y1 -2y2 = -1 - 4 = -5
2. Ux=y:
-3x3 = -5 Rightarrow x3 = tfrac53, 2x2 - x3 = 2 Rightarrow 2x2 = 2 + tfrac53 = tfrac113 Rightarrow x2 = tfrac116,
x1 -2x2 + x3 = 0 Rightarrow x1 = 2x2 - x3 = tfrac113 - tfrac53 = 2
Portanto, sem pivoteamento,
x = 2[4pt]tfrac116[4pt]tfrac53
]

Passo 4

Decomposição LU com pivoteamento parcial
1. Na coluna 1 o maior pivô em módulo é |3| na linha 3, então permutamos R1rightarrow R3. Isso define
P = 0&0&10&1&01&0&0, PA = 3 & -2 & -2 2 & -2 & 1 1 & -2 & 1 , Pb = -120
2. Fatoramos PA = LU:
ell21=2/3,;ell31=1/3, atualizando
R2 R2 - tfrac23R1=(0,,-tfrac23,,tfrac73), R3 R3 - tfrac13R1=(0,,-tfrac43,,tfrac53)
Em seguida ell32=(-4/3)/(-2/3)=2 e
R3 R3 - 2R2 = (0,0,-3)
Logo
L = 1 & 0 & 0 tfrac23 & 1 & 0 tfrac13 & 2 & 1 , U = 3 & -2 & -2 0 & -tfrac23 & tfrac73 0 & 0 & -3 ,
com PA = LU.

Passo 5

Resolvendo Ly = Pb e Ux = y. Ly = Pb:
y1 = -1, y2 = 2 - tfrac23(-1) = tfrac83, y3 = 0 - tfrac13(-1) -2cdottfrac83 = -5
2. Ux = y dá exatamente os mesmos cálculos do caso sem pivoteamento, levando a
x = 2[4pt]tfrac116[4pt]tfrac53
]

Resposta

x1 = 2, x2 = tfrac116, x3 = tfrac53

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