Resolva o sistema linear a seguir pelo método de Gauss-Jacobi com x^0=(0,0) e varepsilon=0,001.
rlr 2 x1+x2 & =1 -x1+4 x2 & =-5
Lembre-se que: d^k= x|xi^k-xi^k-1| e que dr^k=d^kmax x|xi^k| com i=1,2, ldots
Tome como critério de parada dr^k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jacobi. Primeiro, o que temos aqui é um sistema linear com duas equações:
2x1 + x2 = 1 -x1 + 4x2 = -5
O conteúdo da matéria é álgebra linear, especificamente métodos iterativos para resolver sistemas lineares. Vamos precisar reorganizar as equações para isolar cada variável e então aplicar as iterações de Gauss-Jacobi até que a diferença entre as soluções sucessivas seja menor que varepsilon = 0,001.

Passo 2

O método de Gauss-Jacobi começa com uma estimativa inicial para as variáveis. Aqui, nossa estimativa inicial é x^(0) = (0, 0).
Agora, vamos reescrever as equações para expressar x1 e x2 em termos das outras variáveis:
x1^(k) = 1 - x2^(k-1)2 x2^(k) = -5 + x1^(k-1)4
Isso significa que, em cada iteração, vamos calcular novos valores para x1 e x2 baseados nos valores anteriores.

Passo 3

Primeira Iteração ( k=1):
Usando x^(0) = (0, 0):
x1^(1) = 1 - 02 = 0,5
x2^(1) = -5 + 04 = -1,25
Agora, calculamos a diferença máxima d^(1):
d^(1) = max ( |0,5 - 0|, |-1,25 - 0| ) = 1,25
E o erro relativo dr^(1):
dr^(1) = 1,25max(|0,5|, |-1,25|) = 1
Como 1 > 0,001, precisamos continuar.

Passo 4

Segunda Iteração ( k=2):
Usando x^(1) = (0,5, -1,25):
x1^(2) = 1 - (-1,25)2 = 1,125
x2^(2) = -5 + 0,54 = -1,125
Diferença máxima d^(2):
d^(2) = max ( |1,125 - 0,5|, |-1,125 - (-1,25)| ) = 0,625
Erro relativo dr^(2):
dr^(2) = 0,625max(|1,125|, |-1,125|) approx 0,5556
Ainda 0,5556 > 0,001, seguimos.

Passo 5

Terceira Iteração ( k=3):
Usando x^(2) = (1,125, -1,125):
x1^(3) = 1 - (-1,125)2 = 1,0625
x2^(3) = -5 + 1,1254 = -0,96875
Diferença máxima d^(3):
d^(3) = max ( |1,0625 - 1,125|, |-0,96875 - (-1,125)| ) = 0,15625
Erro relativo dr^(3):
dr^(3) = 0,15625max(|1,0625|, |-0,96875|) approx 0,1471
Como 0,1471 > 0,001, vamos para a próxima iteração.

Passo 6

Quarta Iteração ( k=4):
Usando x^(3) = (1,0625, -0,96875):
x1^(4) = 1 - (-0,96875)2 = 0,984375
x2^(4) = -5 + 1,06254 = -0,984375
Diferença máxima d^(4):
d^(4) = max ( |0,984375 - 1,0625|, |-0,984375 - (-0,96875)| ) = 0,078125
Erro relativo dr^(4):
dr^(4) = 0,078125max(|0,984375|, |-0,984375|) approx 0,0794
Ainda 0,0794 > 0,001, continuamos.

Passo 7

Quinta Iteração ( k=5):
Usando x^(4) = (0,984375, -0,984375):
x1^(5) = 1 - (-0,984375)2 = 0,9921875
x2^(5) = -5 + 0,9843754 = -1,00390625
Diferença máxima d^(5):
d^(5) = max ( |0,9921875 - 0,984375|, |-1,00390625 - (-0,984375)| ) = 0,01953125
Erro relativo dr^(5):
dr^(5) = 0,01953125max(|0,9921875|, |-1,00390625|) approx 0,01946875
Como 0,01946875 > 0,001, seguimos.

Passo 8

Sexta Iteração ( k=6):
Usando x^(5) = (0,9921875, -1,00390625):
x1^(6) = 1 - (-1,00390625)2 = 1,001953125
x2^(6) = -5 + 0,99218754 = -1,001953125
Diferença máxima d^(6):
d^(6) = max ( |1,001953125 - 0,9921875|, |-1,001953125 - (-1,00390625)| ) = 0,009765625
Erro relativo dr^(6):
dr^(6) = 0,009765625max(|1,001953125|, |-1,001953125|) approx 0,00975
Ainda 0,00975 > 0,001, vamos continuar.

Passo 9

Sétima Iteração ( k=7):
Usando x^(6) = (1,001953125, -1,001953125):
x1^(7) = 1 - (-1,001953125)2 = 1,0009765625
x2^(7) = -5 + 1,0019531254 = -0,99951171875
Diferença máxima d^(7):
d^(7) = max ( |1,0009765625 - 1,001953125|, |-0,99951171875 - (-1,001953125)| ) = 0,00244140625
Erro relativo dr^(7):
dr^(7) = 0,00244140625max(|1,0009765625|, |-0,99951171875|) approx 0,002439
Como 0,002439 > 0,001, vamos para mais uma iteração.

Passo 10

Oitava Iteração ( k=8):
Usando x^(7) = (1,0009765625, -0,99951171875):
x1^(8) = 1 - (-0,99951171875)2 = 0,999755859375
x2^(8) = -5 + 1,00097656254 = -0,999755859375
Diferença máxima d^(8):
d^(8) = max ( |0,999755859375 - 1,0009765625|, |-0,999755859375 - (-0,99951171875)| ) = 0,001220703125
Erro relativo dr^(8):
dr^(8) = 0,001220703125max(|0,999755859375|, |-0,999755859375|) approx 0,001221
Ainda 0,001221 > 0,001, vamos para mais uma rodada.

Passo 11

Nona Iteração ( k=9):
Usando x^(8) = (0,999755859375, -0,999755859375):
x1^(9) = 1 - (-0,999755859375)2 = 0,9998779296875
x2^(9) = -5 + 0,9997558593754 = -1,00006103515625
Diferença máxima d^(9):
d^(9) = max ( |0,9998779296875 - 0,999755859375|, |-1,00006103515625 - (-0,999755859375)| ) = 0,00030517578125
Erro relativo dr^(9):
dr^(9) = 0,00030517578125max(|0,9998779296875|, |-1,00006103515625|) approx 0,000305
Agora, 0,000305 < 0,001. Parou!

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Jacobi é:
x1 approx 1,0 e x2 approx -1,0

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