Utilizando um polinômio interpolador de grau 2, desenvolver a expressão de Simpson composta para a integração numérica. Aplicar a expressão encontrada nas integrais a seguir e comparar os resultados com as expressões repetidas dos trapézios. Apresentar os desenvolvimentos teórico e de cálculo.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre integração numérica, especificamente usando o polinômio interpolador de grau 2 para desenvolver a Regra de Simpson Composta. Nosso objetivo é aplicar essa regra na integral:
E depois comparar os resultados com a Regra dos Trapézios. Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre interpolação polinomial, regra de Simpson e regra dos trapézios.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a integração numérica. Quando uma integral não pode ser resolvida de forma exata, a gente usa métodos numéricos para aproximar seu valor.
A Regra dos Trapézios e a Regra de Simpson são técnicas de integração numérica que usam funções polinomiais para aproximar a área sob a curva.
Passo 3
A Regra dos Trapézios aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em trapézios e somando suas áreas. Já a Regra de Simpson usa parábolas (polinômios de segundo grau) para fazer essa aproximação, o que geralmente dá uma precisão melhor.
Como o exercício pede para usar um polinômio interpolador de grau 2, vamos focar na Regra de Simpson Composta.
Passo 4
A Regra de Simpson Composta divide o intervalo de integração
em um número par de subintervalos
. A fórmula geral é:
Onde
e
.
Passo 5
Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa integral
.
Primeiro, escolhemos um número par de subintervalos. Vamos usar, por exemplo,
para simplificar os cálculos.
Então,
.
Os pontos de avaliação são:
Passo 6
Vamos calcular
para cada ponto:
Então:
Passo 7
Aplicando a Regra de Simpson Composta:
Substituindo os valores:
Passo 8
Agora, vamos calcular usando a Regra dos Trapézios para comparar.
A fórmula da Regra dos Trapézios é:
Com
,
, e os mesmos pontos:
Resposta
Usando a Regra de Simpson Composta, a aproximação da integral
é aproximadamente 0,6332. Já pela Regra dos Trapézios, a aproximação é 0,6323. Assim, a Regra de Simpson forneceu um resultado ligeiramente maior, mas ambas as regras deram resultados bem próximos.