Utilizando um polinômio interpolador de grau 2, desenvolver a expressão de Simpson composta para a integração numérica. Aplicar a expressão encontrada nas integrais a seguir e comparar os resultados com as expressões repetidas dos trapézios. Apresentar os desenvolvimentos teórico e de cálculo.
(a) integral0^1 e^-x^2raizx+1 d x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre integração numérica, especificamente usando o polinômio interpolador de grau 2 para desenvolver a Regra de Simpson Composta. Nosso objetivo é aplicar essa regra na integral:
integral0^1 e^-x^2raizx+1 , dx
E depois comparar os resultados com a Regra dos Trapézios. Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre interpolação polinomial, regra de Simpson e regra dos trapézios.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a integração numérica. Quando uma integral não pode ser resolvida de forma exata, a gente usa métodos numéricos para aproximar seu valor.
A Regra dos Trapézios e a Regra de Simpson são técnicas de integração numérica que usam funções polinomiais para aproximar a área sob a curva.

Passo 3

A Regra dos Trapézios aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em trapézios e somando suas áreas. Já a Regra de Simpson usa parábolas (polinômios de segundo grau) para fazer essa aproximação, o que geralmente dá uma precisão melhor.
Como o exercício pede para usar um polinômio interpolador de grau 2, vamos focar na Regra de Simpson Composta.

Passo 4

A Regra de Simpson Composta divide o intervalo de integração [a, b] em um número par de subintervalos n. A fórmula geral é:
integrala^b f(x) , dx approx De
Onde De e xi = a + i De.

Passo 5

Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa integral integral0^1 e^-x^2raizx+1 , dx.
Primeiro, escolhemos um número par de subintervalos. Vamos usar, por exemplo, n = 2 para simplificar os cálculos.
Então, De.
Os pontos de avaliação são:
  • x0 = 0
  • x1 = 0.5
  • x2 = 1

Passo 6

Vamos calcular f(x) para cada ponto:
f(x) = e^-x^2raizx+1
Então:
  • f(x0) = f(0) = e^0raiz0+1 = 1
  • f(x1) = f(0.5) = e^-0.25raiz1.5 approx 0.77881.2247 approx 0.6351
  • f(x2) = f(1) = e^-1raiz2 approx 0.36791.4142 approx 0.2590

Passo 7

Aplicando a Regra de Simpson Composta:
integral0^1 f(x) , dx approx 0.53 [ f(0) + 4f(0.5) + f(1) ]
Substituindo os valores:
approx 0.53 [ 1 + 4(0.6351) + 0.2590 ] = 0.53 [ 1 + 2.5404 + 0.2590 ] = 0.53 times 3.7994 approx 0.6332

Passo 8

Agora, vamos calcular usando a Regra dos Trapézios para comparar.
A fórmula da Regra dos Trapézios é:
integrala^b f(x) , dx approx De
Com n = 2, De, e os mesmos pontos:
approx 0.52 [ 1 + 2(0.6351) + 0.2590 ] = 0.52 times 2.5292 approx 0.6323

Resposta

Usando a Regra de Simpson Composta, a aproximação da integral integral0^1 e^-x^2raizx+1 , dx é aproximadamente 0,6332. Já pela Regra dos Trapézios, a aproximação é 0,6323. Assim, a Regra de Simpson forneceu um resultado ligeiramente maior, mas ambas as regras deram resultados bem próximos.

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