3- Um parque tem 3 pistas para caminhada, X, Y e Z. Ana deu 1 volta na pista X, 1 volta na pista Y e 3 voltas na pista Z, tendo caminhado um total de 3.815 metros. João deu 3 voltas na pista X, 5 voltas na pista Y e 1 volta na pista Z, num total de 5.075 metros. Marcela deu 4 voltas na pista X e 2 voltas na pista Y, num total de 3.430 metros. considerando a solução inicial (600,400,905) e epsilon=0,9, em quantos metros o comprimento da maior dessas pistas, excede o comprimento da menor pista, aproximadamente? Dica: trocar a linha 1 com a linha 3.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três pistas cujos comprimentos são x, y e z, e três condições de voltas:
Ana:
x + y + 3z = 3815
João:
3x + 5y + z = 5075
Marcela:
4x + 2y = 3430
Queremos estimar, por Gauss–Seidel com relaxação omega=0,9 e chute inicial (600,400,905), em quantos metros a pista mais longa excede a mais curta.

Passo 2

Para garantir convergência, trocamos a linha 1 com a 3, obtendo sistema diagonalmente dominante:
4x + 2y + 0z = 3430, 3x + 5y + 1z = 5075, 1x + 1y + 3z = 3815
Isolando cada variável:
x = 3430 - 2y4, y = 5075 - 3x - z5, z = 3815 - x - y3

Passo 3

Com relaxação omega=0,9, a atualização fica, p.ex. para x:
x^(k+1) = x^(k) + omegal(3430 - 2y^(*)4 - x^(k)r),
onde em y^(*) usamos o valor já atualizado de y (Gauss–Seidel). De modo análogo para y e z.

Passo 4

Fazendo as primeiras iterações (valores arredondados ao milésimo):
Iteração 1 (usando (600,400,905)):
x1 &=600+0,9l(tfrac3430-2cdot4004-600r)=651,750, y1 &=400+0,9l(tfrac5075-3cdot651,75-9055-400r)=438,655, z1 &=905+0,9l(tfrac3815-651,75-438,6553-905r)=907,879
Iteração 2:
(x2,y2,z2)approx(639,530,;448,601,;908,848)
Iteração 3:
(x3,y3,z3)approx(633,833,;452,498,;909,486)
Iteração 4:
(x4,y4,z4)approx(631,509,;454,027,;909,788)
Iteração 5:
(x5,y5,z5)approx(630,589,;454,623,;909,915),
já perto da convergência.

Passo 5

Os comprimentos aproximados são
xapprox630,6, yapprox454,6, zapprox909,9
A maior pista é z e a menor é y, então a diferença é
909,9 - 454,6 approx 455,3 metros

Resposta

A pista mais longa excede a mais curta em aproximadamente 455 metros.

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