Considere o sistema linear
Verifique, usando eliminação gaussiana, que este sistema não tem solução. Qual será o comportamento do método de Gauss-Seidel?

Passo 1

Beleza, o enunciado pede duas coisas:
  1. Usar eliminação gaussiana pra mostrar que o sistema

[
1 & 2 & 1 2 & 3 & 1 3 & 5 & 2 x1x2x3 = 351


]
não tem solução.
2) Dizer como o método de Gauss-Seidel se comporta nesse caso.
Conteúdo envolvido:
  • Montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares (eliminação gaussiana).
  • Reconhecer inconsistência (um “0 = constante ≠ 0”).
  • Entender o método iterativo de Gauss-Seidel e seu critério de convergência (precisa existir solução/fix-point, além de certas condições na matriz).

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada [ccc|c 1 & 2 & 1 & 3[6pt] 2 & 3 & 1 & 5[6pt] 3 & 5 & 2 & 1 ] :
L2 = (2-2cdot1,;3-2cdot2,;1-2cdot1 mid 5-2cdot3) = (0,,-1,,-1 mid -1)
A ideia da eliminação é zerar, passo a passo, todos os termos abaixo da primeira coluna (coef. de L3 = (3-3cdot1,;5-3cdot2,;2-3cdot1 mid 1-3cdot3) = (0,,-1,,-1 mid -8) ) usando combinações de linhas.
  • Para zerar o coeficiente 2 na linha 2, fazemos
    [ccc|c 1 & 2 & 1 & 3[3pt] 0 & -1 & -1 & -1[3pt] 0 & -1 & -1 & -8 ] .
    Como e , obtemos
  • Para zerar o coeficiente 3 na linha 3, fazemos
    .
    Partindo de , dá
Agora a matriz está assim:

Passo 3

Para continuar, a gente elimina o coeficiente de L3 = (0-0,;-1-(-1),;-1-(-1)mid -8-(-1)) = (0,0,0mid -7) na linha 3 usando a linha 2:
0cdot x1 + 0cdot x2 + 0cdot x3 = -7, .
Como e , temos
Ou seja, chegamos a uma linha que representa
isto é, “ ”, uma contradição.
Quando aparece essa equação impossível durante a eliminação gaussiana, o sistema é inconsistente e não tem solução.

Passo 4

Método de Gauss–Seidel é um método iterativo que, a cada passo, isola na 1ª equação, usa esse valor pra atualizar na 2ª, e depois na 3ª, assim por diante. Se o sistema fosse consistente e a matriz satisfizesse condições (por ex. diagonalmente dominante), a iteração convergiria ao vetor solução.
Aqui, como você acabou de ver, não existe solução (não há ponto fixo onde as equações se satisfaçam todas). Logo, o Gauss–Seidel não vai convergir: as iterações vão oscilar ou crescer sem rumo, pois não há “alvo” (solução) para se estabilizar.

Resposta

O sistema é inconsistente (leva à linha ) e, por isso, o método de Gauss–Seidel não converge, já que não há solução a que ele possa se aproximar.

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