Calcule kappa2(A) se
A=(ll10 & -4 12 & -4)

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra calcular o número de condição na norma 2 de
A=10 & -4 12 & -4
Conteúdo envolvido: norma-2 de matriz, valores singulares e número de condição. Vamos precisar lembrar que
kappa2(A)=|A|2,|A^-1|2
e que, na norma 2, a norma de uma matriz é o seu maior valor singular, enquanto a norma de é sobre o menor valor singular de .

Passo 2

Primeiro, bora recapitular o que é valor singular. Se A,v = sigma,u e A^T,u = sigma,v é um valor singular de , então existe um vetor não-nulo tal que
Na prática, os valores singulares de são as raízes quadradas dos autovalores de . Em símbolos: se é autovalor de , então é valor singular de .

Passo 3

Vamos calcular A^T = 10 & 12 -4 & -4, . Primeiro,
A^TA =10 & 12 -4 & -4 10 & -4 12 & -4 = 10cdot10+12cdot12 & 10cdot(-4)+12cdot(-4) (-4)cdot10+(-4)cdot12 & (-4)cdot(-4)+(-4)cdot(-4) =244 & -88 -88 & 32
então

Passo 4

Agora obtemos os autovalores de detl(A^TA-lambda Ir) =det244-lambda & -88 -88 & 32-lambda =0 resolvendo
(244-lambda)(32-lambda)-(-88)^2 =lambda^2-276lambda+64=0
Isso dá a equação
lambda1,2 =276pmraiz276^2-4cdot642 =138pm2raiz4745
As raízes são

Passo 5

Os valores singulares são
sigma1=raizlambda1=raiz138+2raiz4745, sigma2=raizlambda2=raiz138-2raiz4745,
com o maior e o menor.

Passo 6

Finalmente, o número de condição na norma 2 é
kappa2(A) =sigma1sigma2 =raiz138+2raiz4745138-2raiz4745 approx 37,2

Resposta

.

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