Seja A uma matriz triangular. Determine todos oa autovalores de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Seja A uma matriz triangular. Determine todos os autovalores de .”
Conteúdo: autovalores e matrizes triangulares.
O que precisamos:
  1. Entender o que é autovalor (definição e como aparece a equação característica).
  2. Saber que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal.

Passo 2

Primeiro, a definição de autovalor. Um número A,v = lambda,v é autovalor de detl(A - lambda Ir) = 0 se existir um vetor não‐nulo tal que
Isso é equivalente a dizer que a matriz é singular, ou seja
Essa última é a famosa equação característica.

Passo 3

Agora note que, se detl(A - lambda Ir) = (a11 - lambda),(a22 - lambda),cdots,(ann - lambda) é triangular (superior ou inferior), então também é triangular (porque subtrair só mexe na diagonal).
E a propriedade chave é:
“o determinante de uma matriz triangular vale o produto dos seus elementos da diagonal.”
Logo

Passo 4

Para que esse produto seja zero, basta que um dos fatores seja zero. Ou seja, existe solução quando
aii - lambda = 0 Longrightarrow lambda = aii,
para cada .

Resposta

Os autovalores de ;a11,,a22,,dots,,ann são exatamente os elementos da sua diagonal:

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