Seja A uma matriz triangular. Determine todos oa autovalores de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Seja A uma matriz triangular. Determine todos os autovalores de
.”
Conteúdo: autovalores e matrizes triangulares.
O que precisamos:
Conteúdo: autovalores e matrizes triangulares.
O que precisamos:
- Entender o que é autovalor (definição e como aparece a equação característica).
- Saber que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal.
Passo 2
Primeiro, a definição de autovalor. Um número
é autovalor de
se existir um vetor não‐nulo
tal que
Isso é equivalente a dizer que a matriz
é singular, ou seja
Essa última é a famosa equação característica.
Passo 3
Agora note que, se
é triangular (superior ou inferior), então
também é triangular (porque subtrair
só mexe na diagonal).
E a propriedade chave é:
“o determinante de uma matriz triangular vale o produto dos seus elementos da diagonal.”
Logo
E a propriedade chave é:
“o determinante de uma matriz triangular vale o produto dos seus elementos da diagonal.”
Logo
Passo 4
Para que esse produto seja zero, basta que um dos fatores seja zero. Ou seja, existe solução quando
para cada
.
Resposta
Os autovalores de
são exatamente os elementos da sua diagonal: