Encontre o polinômio que interpola f(x)=1 / x nos pontos x0=1, x1=2 e x2=4 expresso nas formas: (a) Lagrange, (b) Newton e © tradicional (potências de x ).

Passo 1

Beleza, o que o exercício pede é: “achar um polinômio de grau até 2 que passa pelos pontos
$(1,1)$, $(2,1/2)$ e $(4,1/4)$ para a função $f(x)=1/x$.”
Isso é Interpolação Polinomial. Vamos usar três “saberes” principais:
  1. Fórmula de Lagrange (bases $L_i(x)$).
  2. Fórmula de Newton (diferenças divididas).
  3. Como expandir tudo na forma tradicional $ax^2+bx+c$.

Passo 2

(a) Forma de Lagrange
  1. A ideia é montar três funções
    $$L_0(x)=\frac{(x-2)(x-4)}{(1-2)(1-4)},\quad
    L_1(x)=\frac{(x-1)(x-4)}{(2-1)(2-4)},\quad
    L_2(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(4-1)(4-2)}$$
    • No denominador cada termo é a diferença dos nós: por exemplo $(1-2)(1-4)=-1\cdot-3=3$.
  2. Calculando:
    $$L_0(x)=\frac{(x-2)(x-4)}{3},\quad
    L_1(x)=-\frac{(x-1)(x-4)}{2},\quad
    L_2(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{6}.$$
  3. O polinômio é
    $$P_L(x)=f(1),L_0(x)+f(2),L_1(x)+f(4),L_2(x)
    =1\cdot\frac{(x-2)(x-4)}{3}+\frac12\Bigl(-\frac{(x-1)(x-4)}{2}\Bigr)+\frac14\cdot\frac{(x-1)(x-2)}{6}.$$
  4. Simplificando coeficientes:
    $\displaystyle P_L(x)=\frac{(x-2)(x-4)}{3}-\frac{(x-1)(x-4)}{4}+\frac{(x-1)(x-2)}{24}.$$

Passo 3

(b) Forma de Newton
  1. Primeiro, montar a tabela de diferenças divididas:
    • $f[x_0]=1,;f[x_1]=\tfrac12,;f[x_2]=\tfrac14$.
    • $f[x_0,x_1]=\frac{\tfrac12-1}{2-1}=-\tfrac12.$
    • $f[x_1,x_2]=\frac{\tfrac14-\tfrac12}{4-2}=-\tfrac14\div2=-\tfrac18.$
    • $f[x_0,x_1,x_2]=\frac{-\tfrac18-(-\tfrac12)}{4-1}=\frac{0{,}375}{3}=0{,}125.$
  2. A fórmula geral de Newton com nós $1,2,4$ é
    $\displaystyle P_N(x)=f[x_0]+fx_0,x_1+fx_0,x_1,x_2(x-2).$$
  3. Substituindo valores:
    $\displaystyle P_N(x)=1-\tfrac12,(x-1)+0{,}125,(x-1)(x-2).$$

Passo 4

© Forma tradicional (potências de $x$)
Vamos expandir o $P_N(x)$:
  1. x.
  2. PN(x).
  3. Somando tudo:
    $ P(x)&=1 +l(-tfrac12x+tfrac12r)+l(0,125x^2-0,375x+0,25r) &=0,125x^2 +l(-0,5-0,375r)x +l(1+0,5+0,25r) &=0,125x^2-0,875x+1,75 &=18x^2-78x+74 $\

Resposta

(a) Lagrange:
$\displaystyle P_L(x)=\frac{(x-2)(x-4)}{3}-\frac{(x-1)(x-4)}{4}+\frac{(x-1)(x-2)}{24}.$
(b) Newton:
$\displaystyle P_N(x)=1-\tfrac12,(x-1)+0{,}125,(x-1)(x-2).$
© Tradicional:
$\displaystyle P(x)=\frac18,x^2-\frac78,x+\frac74.$

Exercícios relacionados