Encontre o polinômio que interpola
nos pontos
e
expresso nas formas: (a) Lagrange, (b) Newton e © tradicional (potências de
).
Passo 1
Beleza, o que o exercício pede é: “achar um polinômio de grau até 2 que passa pelos pontos
$(1,1)$, $(2,1/2)$ e $(4,1/4)$ para a função $f(x)=1/x$.”
Isso é Interpolação Polinomial. Vamos usar três “saberes” principais:
$(1,1)$, $(2,1/2)$ e $(4,1/4)$ para a função $f(x)=1/x$.”
Isso é Interpolação Polinomial. Vamos usar três “saberes” principais:
- Fórmula de Lagrange (bases $L_i(x)$).
- Fórmula de Newton (diferenças divididas).
- Como expandir tudo na forma tradicional $ax^2+bx+c$.
Passo 2
(a) Forma de Lagrange
- A ideia é montar três funções
$$L_0(x)=\frac{(x-2)(x-4)}{(1-2)(1-4)},\quad
L_1(x)=\frac{(x-1)(x-4)}{(2-1)(2-4)},\quad
L_2(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(4-1)(4-2)}$$- No denominador cada termo é a diferença dos nós: por exemplo $(1-2)(1-4)=-1\cdot-3=3$.
- Calculando:
$$L_0(x)=\frac{(x-2)(x-4)}{3},\quad
L_1(x)=-\frac{(x-1)(x-4)}{2},\quad
L_2(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{6}.$$ - O polinômio é
$$P_L(x)=f(1),L_0(x)+f(2),L_1(x)+f(4),L_2(x)
=1\cdot\frac{(x-2)(x-4)}{3}+\frac12\Bigl(-\frac{(x-1)(x-4)}{2}\Bigr)+\frac14\cdot\frac{(x-1)(x-2)}{6}.$$ - Simplificando coeficientes:
$\displaystyle P_L(x)=\frac{(x-2)(x-4)}{3}-\frac{(x-1)(x-4)}{4}+\frac{(x-1)(x-2)}{24}.$$
Passo 3
(b) Forma de Newton
- Primeiro, montar a tabela de diferenças divididas:
- $f[x_0]=1,;f[x_1]=\tfrac12,;f[x_2]=\tfrac14$.
- $f[x_0,x_1]=\frac{\tfrac12-1}{2-1}=-\tfrac12.$
- $f[x_1,x_2]=\frac{\tfrac14-\tfrac12}{4-2}=-\tfrac14\div2=-\tfrac18.$
- $f[x_0,x_1,x_2]=\frac{-\tfrac18-(-\tfrac12)}{4-1}=\frac{0{,}375}{3}=0{,}125.$
- A fórmula geral de Newton com nós $1,2,4$ é
$\displaystyle P_N(x)=f[x_0]+fx_0,x_1+fx_0,x_1,x_2(x-2).$$ - Substituindo valores:
$\displaystyle P_N(x)=1-\tfrac12,(x-1)+0{,}125,(x-1)(x-2).$$
Passo 4
© Forma tradicional (potências de $x$)
Vamos expandir o $P_N(x)$:
Vamos expandir o $P_N(x)$:
-
. -
. - Somando tudo:
$$\
Resposta
(a) Lagrange:
$\displaystyle P_L(x)=\frac{(x-2)(x-4)}{3}-\frac{(x-1)(x-4)}{4}+\frac{(x-1)(x-2)}{24}.$
$\displaystyle P_L(x)=\frac{(x-2)(x-4)}{3}-\frac{(x-1)(x-4)}{4}+\frac{(x-1)(x-2)}{24}.$
(b) Newton:
$\displaystyle P_N(x)=1-\tfrac12,(x-1)+0{,}125,(x-1)(x-2).$
$\displaystyle P_N(x)=1-\tfrac12,(x-1)+0{,}125,(x-1)(x-2).$
© Tradicional:
$\displaystyle P(x)=\frac18,x^2-\frac78,x+\frac74.$
$\displaystyle P(x)=\frac18,x^2-\frac78,x+\frac74.$