Dado o problema de valor inicial (PVI):
l y^prime=y y(0)=1
Considerando h=0.5 calcule:
a) y(2.5) utilizando o método de Euler;
b) y(2.5) utilizando o método de Runge-Kutta de segunda ordem;
c) y(2.5) utilizando o método de Runge-Kutta de terceira ordem;
d) y(2.5) utilizando o método de Runge-Kutta de quarta ordem;

Passo 1

Beleza, a gente tá com o PVI
y'=y, y(0)=1,
e quer achar a aproximação de usando passo pelos métodos de Euler, Runge–Kutta de 2ª, 3ª e 4ª ordem.
Matéria: métodos numéricos para EDOs. Vamos precisar da fórmula de iteração de cada método e ver como ela simplifica quando .

Passo 2

Método de Euler (explícito):
  1. Teoria: a ideia é usar a reta tangente em cada ponto.
  2. Fórmula geral: yn+1=yn + h,f(xn,yn)
  3. No nosso caso yn+1=yn + h,yn = yn,(1+h) , fica y(2.5)approx y5 = 1.5^5 = 7.59375
  4. Com , o fator de crescimento em cada passo é . Como passos,

Passo 3

Runge–Kutta de 2ª ordem (método de Heun):
  1. Teoria: usa dois estágios k1&=f(xn,yn), k2&=fl(xn+h,;yn+h,k1r), yn+1&=yn + h2(k1+k2) e faz média trapezoidal.
  2. Fórmulas: yn+1 =yn + tfrach2l(yn+(1+h)ynr) =ynl(1 + h + tfrach^22r)
  3. Para 1 + 0.5 + 0.5^22 = 1.625, :
    • y(2.5)approx 1.625^5 approx 11.33096 ,
    • .
      Então
  4. Com : e em 5 passos

Passo 4

Runge–Kutta de 3ª ordem (Kutta’s third–order):
  1. Teoria: três estágios com pesos yn+1=ynl(1 + h + tfrach^22 + tfrach^36r) .
  2. Para Q = 1 + 0.5 + 0.5^22 + 0.5^36 =1.6458333dots a “função de estabilidade” dá y(2.5)approx Q^5 approx 1.6458333^5 approx 12.0776
  3. Com : e

Passo 5

Runge–Kutta de 4ª ordem (clássico):
  1. Teoria: quatro estágios, peso yn+1=ynl(1 + h + tfrach^22 + tfrach^36 + tfrach^424r) .
  2. Pra Q = 1 + 0.5 + tfrac0.5^22 + tfrac0.5^36 + tfrac0.5^424 =1.6484375, a função de estabilidade é y(2.5)approx 1.6484375^5 approx 12.1704
  3. Com : logo

Resposta

a) Euler:
b) RK2 (Heun):
c) RK3:
d) RK4:

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