Dado o problema de valor inicial (PVI):
Considerando
calcule:
a)
utilizando o método de Euler;
b)
utilizando o método de Runge-Kutta de segunda ordem;
c)
utilizando o método de Runge-Kutta de terceira ordem;
d)
utilizando o método de Runge-Kutta de quarta ordem;
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, a gente tá com o PVI
e quer achar a aproximação de
usando passo
pelos métodos de Euler, Runge–Kutta de 2ª, 3ª e 4ª ordem.
Matéria: métodos numéricos para EDOs. Vamos precisar da fórmula de iteração de cada método e ver como ela simplifica quando .
Matéria: métodos numéricos para EDOs. Vamos precisar da fórmula de iteração de cada método e ver como ela simplifica quando
Passo 2
Método de Euler (explícito):
- Teoria: a ideia é usar a reta tangente em cada ponto.
- Fórmula geral:
- No nosso caso
, fica - Com
, o fator de crescimento em cada passo é . Como passos,
Passo 3
Runge–Kutta de 2ª ordem (método de Heun):
- Teoria: usa dois estágios
e faz média trapezoidal. - Fórmulas:
- Para
: -
, -
.
Então
-
- Com
: e em 5 passos
Passo 4
Runge–Kutta de 3ª ordem (Kutta’s third–order):
- Teoria: três estágios com pesos
. - Para
a “função de estabilidade” dá - Com
: e
Passo 5
Runge–Kutta de 4ª ordem (clássico):
- Teoria: quatro estágios, peso
. - Pra
a função de estabilidade é - Com
: logo
Resposta
a) Euler:
b) RK2 (Heun):
c) RK3:
d) RK4:
b) RK2 (Heun):
c) RK3:
d) RK4: