Considere o sistema de ponto flutuante normalizado
de base 2, 4 dígitos na mantissa, menor expoente -1 e maior expoente 2 . Para este sistema:
Qual é o número total de reais exatamente representáveis?
Qual é o número total de reais exatamente representáveis?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um sistema de ponto flutuante normalizado
SPF(2,4,−1,2), ou seja:
SPF(2,4,−1,2), ou seja:
- base β = 2
- p = 4 dígitos na mantissa (incluindo o 1 antes da vírgula)
- expoentes e variam de L = –1 até U = 2
O que a gente quer: contar quantos números reais exatamente representáveis cabem nesse sistema (incluindo o zero).
Pra resolver isso, vamos precisar entender como se conta quantas mantissas válidas existem, quantos expoentes, considerar o sinal e, por fim, adicionar o zero.
Pra resolver isso, vamos precisar entender como se conta quantas mantissas válidas existem, quantos expoentes, considerar o sinal e, por fim, adicionar o zero.
Passo 2
Quantas mantissas normalizadas existem?
Numa mantissa normalizada em base 2 e p = 4 bits, ela sempre tem a forma
Numa mantissa normalizada em base 2 e p = 4 bits, ela sempre tem a forma
ou seja, o primeiro dígito (à esquerda da vírgula) é sempre 1, e os outros p−1 = 3 bits podem ser 0 ou 1 livremente.
Logo, o número de mantissas possíveis é
Passo 3
Quantos expoentes válidos temos?
Os expoentes variam de L = −1 até U = 2, contando todos os inteiros nesse intervalo.
O total de expoentes é
Os expoentes variam de L = −1 até U = 2, contando todos os inteiros nesse intervalo.
O total de expoentes é
Passo 4
Quantos números não-nulos podemos formar?
Para cada mantissa (8 opções) e cada expoente (4 opções), podemos ter sinal + ou − (2 opções).
Então o total de números diferentes, excluindo zero, é
Para cada mantissa (8 opções) e cada expoente (4 opções), podemos ter sinal + ou − (2 opções).
Então o total de números diferentes, excluindo zero, é
Passo 5
Não podemos esquecer do zero!
Zero é representável (mesmo sem seguir a normalização) e conta como mais 1 número.
Zero é representável (mesmo sem seguir a normalização) e conta como mais 1 número.
Resposta
Total de reais exatamente representáveis = 64 (não-nulos) + 1 (zero) = 65.