Considere o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (3,2,-1,2), de base 3, 2 dígitos na mantissa, menor expoente igual a -1 e maior expoente 2. Para este sistema, temos que:
x=19 e y=5 são exatamente representáveis. Verifique se x+y é exatamente representável em SPF

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um sistema de ponto flutuante normalizado SPF(3,2,−1,2):
  • base β=3
  • t=2 dígitos na mantissa (um dígito antes do ponto e um depois)
  • expoentes e variam de e_min=−1 até e_max=2
Eles garantem que x=1/9 e y=5 já são exatamente representáveis nesse sistema. A nossa missão é ver se x+y também é exatamente representável. Para isso vamos precisar lembrar como se escreve um número normalizado em base 3 com 2 dígitos:
qualquer valor ≠0 vale
pm (d1d2)3 times 3^e, d1in1,2, d2in0,1,2, ein[-1,2]

Passo 2

Primeiro, calculemos o valor exato de x+y em notação usual:
x+y = 19 + 5 = 19 + 459 = 469 approx 5,111ldots

Passo 3

Agora precisamos ver se dá pra escrever 46/9 na forma normalizada com 2 dígitos em base 3.
  1. Escolher expoente e
    Como 5,111… está entre 3^1=3 e 3^2=9, a gente escolhe e=1.
  2. Calcular a mantissa m
    m = 46/93^1 ;=;4627;approx;1,7037ldots
    Em base 3 a gente quer dois dígitos d1d2:
    - d1 = lfloor mrfloor = 1.
    - Resto = m - 1 = 0,7037ldots.
    - Multiplica resto por 3: 0,7037cdot3 approx 2,111ldots, logo d2=lfloor2,111rfloor=2.
    Então a mantissa arredondada aos 2 dígitos seria (1.2)3.
  3. Verificar valor aproximado
    (1.2)3 times 3^1 = l(1 + tfrac23r)times3 = tfrac53times3 = 5
    Esse é o representante imediato abaixo de 5,111…
    O próximo número representável (incrementando a mantissa ou o expoente) é
    (2.0)3times3^1 = 2times3 = 6
    Ou seja, entre 5 e 6 não existe nenhum outro valor “no meio” no nosso SPF.

Passo 4

Como o valor exato 5,111… não bate exatamente nem com 5 nem com 6 (e não há nenhum representável entre eles), não temos como representar 46/9 sem erro de aproximação.

Resposta

x+y não é exatamente representável em SPF(3,2,−1,2).

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