Considere o sistema de ponto flutuante normalizado SPF=SPF(2,4,-1,2) de base 2 , 4 dígitos na mantissa, menor expoente -1 e maior expoente 2 . Para este sistema:
a) Qual é o menor positivo exatamente representável?
b) Qual é o maior positivo exatamente representável?
c) Quantos são os exatamente representáveis positivos?
d) Qual é o número total de reais exatamente representáveis?

Passo 1

Beleza, o problema diz que temos um sistema de ponto‐flutuante normalizado
SPF(2,4,-1,2)
ou seja:
  • base β=2
  • precisão t=4 dígitos na mantissa
  • expoentes e variam de L=−1 até U=2
Num sistema normalizado, todo número (não‐zero) é escrito como
pm (d0d1d2,d3)2 times 2^e,
onde 1d1d2d3(diin0,1) . Em binário isso significa , então a mantissa tem a forma
A gente vai precisar desse esquema pra achar:
a) menor positivo,
b) maior positivo,
c) quantos positivos existem,
d) total de números representáveis.

Passo 2

Menor positivo exatamente representável:
  • A mantissa mínima (normalizada) é menor = 1.0002 times 2^-1 = 2^-1 = 0,5 .
  • O expoente mínimo é .
    Logo

Passo 3

Maior positivo exatamente representável:
  • A mantissa máxima é maior = 1.1112 times 2^2 = l(1 + tfrac12 + tfrac14 + tfrac18r)times 4 = 1,875times4 = 7,5 (todos os dígitos de fração iguais a 1).
  • O expoente máximo é .
    Então

Passo 4

Quantidade de positivos:
  • Quantas mantissas? O primeiro bit é sempre 1 e os outros 3 bits ( #positivos = 8 times 4 = 32 ) podem ser 0 ou 1. Então são mantissas.
  • Quantos expoentes? De até temos valores de .
    Logo

Passo 5

Total de números representáveis:
  • Existem 32 positivos.
  • Simetricamente, existem 32 negativos.
  • E o zero (representado separadamente) conta como mais 1.
    Assim, no total
32 + 32 + 1 = 65

Resposta

a) (ou )
b)
c)
d)

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