Use a regra do trapézio para aproximar a integral
integral0^1 e^-x^2 d x
Depois divida a integral em duas
integral0^1 / 2 e^-x^2 d x+integral1 / 2^1 e^-x^2 d x
e aplique a regra do trapézio em cada uma delas. Finalmente, repita o processo dividindo em quatro integrais.

Passo 1

O enunciado pede pra usar a regra do trapézio — técnica de integração numérica — para aproximar
integral0^1e^-x^2,dx
Depois a gente divide o intervalo [0,1] em 2 pedaços ([0,½] e [½,1]), aplica a regra em cada um, e por fim repete o processo dividindo em 4 pedaços.
Conteúdo: regra do trapézio e noções de soma de áreas de trapézios.
O que vamos precisar:
  • Calcular integrala^bf(x),dxapprox b-a2l(f(a)+f(b)r) em pontos-chaves (0, ¼, ½, ¾, 1).
  • Aplicar a fórmula do trapézio em cada subintervalo:

Passo 2

Aplicação única da regra do trapézio em [0,1].
  • Aqui integral0^1e^-x^2,dx approx 1-02l(f(0)+f(1)r) =12,(1+0,367879) =0,6839395 , .
  • , .
  • A fórmula dá

Passo 3

Dividindo em 2 subintervalos e aplicando a regra a cada um:
  1. Intervalo [0,½]:
    • integral0^1/2e^-x^2,dx approx 1/2-02l(f(0)+f(tfrac12)r) =0,25,(1+0,778801) =0,444700 , integral1/2^1e^-x^2,dx approx 0,25,(0,778801+0,367879) =0,286670 .
    • 0,444700 + 0,286670 = 0,731370 , .
  2. Intervalo [½,1]:
    • , .
    • , .
Somando as duas partes:

Passo 4

Agora 4 subintervalos de igual tamanho 0,252l(f(0)+f(0,25)r) =0,125,(1 + e^-0,25^2=0,0625approx0,939413) =0,242427 . Vamos em cada um:
  1. \frac{0{,}25}{2}\bigl(f(0)+f(0{,}25)\bigr)
    =0{,}125,(1 + e{-0{,}252=0{,}0625}\approx0{,}939413)
    =0{,}242427.
    ]
    (Note: 0,125,(f(0,25)+f(0,5)) =0,125,(0,939413 + 0,778801) =0,214777 .)
  2. 0{,}125,(f(0{,}25)+f(0{,}5))
    =0{,}125,(0{,}939413 + 0{,}778801)
    =0{,}214777.
    ]
  3. 0{,}125,(f(0{,}5)+f(0{,}75))
    =0{,}125,(0{,}778801 + e{-0{,}752=0{,}5625}\approx0{,}569783)
    =0{,}168573.
    ]
  4. 0{,}125,(f(0{,}75)+f(1))
    =0{,}125,(0{,}569783 + 0{,}367879)
    =0{,}1172078.
    ]
Somando tudo:
0,125,(f(0,5)+f(0,75)) =0,125,(0,778801 + e^-0,75^2=0,5625approx0,569783) =0,168573

Resposta

Aproximações de :
  • 1 trapézio: 0,68394
  • 2 trapézios: 0,73137
  • 4 trapézios: 0,74299

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