Considere o sistema A x=b para:
A=[rrr 2 & -4 & -7 3 & -5 & 0 4 & 1 & 2 ] ; b=[r 0 -5 1 ]
Para o sistema reformulado no item (a), calcule apenas uma iteração usando o método de Gauss-Seidel a partir de X^(0)=(0,26 ; 1,15 ;-0,59)^T.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente resolver uma iteração do método de Gauss–Seidel no sistema
A x = b, A = 2 & -4 & -7 3 & -5 & 0 4 & 1 & 2 , b = 0-51,
a partir do chute inicial
X^(0) = l(0,26;;1,15;;-0,59r)^T
Isso é conteúdo de métodos iterativos em Álgebra Linear Numérica. A gente vai usar a fórmula do Gauss–Seidel, que atualiza cada componente sequencialmente usando os valores mais recentes.

Passo 2

O método de Gauss–Seidel atualiza cada xi^(k+1) =1aiil(bi - sumj=1^i-1 aij,xj^(k+1) -sumj=i+1^n aij,xj^(k)r) assim:
Ou seja, pra achar usamos só os valores antigos; pra já usamos o que acabamos de calcular; e assim por diante.

Passo 3

Calcular x1^(1) =1a11l(b1 - a12,x2^(0) - a13,x3^(0)r) =12l(0 - (-4)cdot1,15 -(-7)cdot(-0,59)r) :
x1^(1) = 0,472 = 0,235
Passo a passo:
  • , mas tem o menos de fora, vira .
  • , e tem outro menos, vira .
    - Soma interna: .
    - Dividindo por 2:

Passo 4

Agora x2^(1) =1a22l(b2 - a21,x1^(1) - a23,x3^(0)r) =1-5l(-5 - 3cdot0,235 - 0cdot(-0,59)r) :
x2^(1) = -5,705-5 = 1,141
  • .
  • Então .
  • Dividindo por :

Passo 5

Finalmente x3^(1) =1a33l(b3 - a31,x1^(1) - a32,x2^(1)r) =12l(1 - 4cdot0,235 - 1cdot1,141r) :
x3^(1) = -1,0812 = -0,5405
  • .
  • Então .
  • Dividindo por 2:

Resposta

A iteração X^(1) = l(0,235;;1,141;;-0,5405r)^T do método de Gauss–Seidel é

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