Considere o sistema A x=b para:
A=[rrr 2 & -4 & -7 3 & -5 & 0 4 & 1 & 2 ] ; b=[r 0 -5 1 ]
Determine o erro cometido na iteração do item (b) usando a norma do máximo.

Passo 1

Beleza, então é o seguinte: a questão pede para a gente calcular o “erro” da iteração do item (b) usando a norma do máximo (ou norma infinito). Isso é conteúdo de sistemas lineares e normas de vetores.
Para fazer isso a gente precisa de duas coisas:
  1. O vetor aproximado que saiu lá no item (b), digamos que seja
x^(1) = 0 1 0.5
  1. A solução exata e^(1) = x^* - x^(1) do sistema |e^(1)|infty = maxi |ei^(1)| .
    Depois, a gente calcula o vetor de erro
e por fim a norma do máximo

Passo 2

Primeiro, vamos achar a solução exata 2x1 -4x2 -7x3 = 0, 3x1 -5x2 ;; = -5, 4x1 +;x2 +2x3 = 1 . Nosso sistema é
3x1 -5x2 = -5 Longrightarrow x2 = 3x1+55
  1. Da segunda equação:
2x1 -4!l(tfrac3x1+55r) -7x3 = 0 ;Longrightarrow; 2x1 - 12x1+205 -7x3 = 0 ;Longrightarrow; 2x1 - 12x15 -4 -7x3 = 0
  1. Substituo 10x1 -12x1 -20 -35x3 = 0 ;Longrightarrow; -2x1 -35x3 = 20 ;Longrightarrow; 2x1 +35x3 = -20 na primeira:
4x1 + 3x1+55 +2x3 =1 ;Longrightarrow; 20x1 +3x1+5 +10x3 =5 ;Longrightarrow; 23x1 +10x3 =0 ;Longrightarrow; x1 = -1023x3
Multiplicando tudo por 5 para simplificar:
2!l(-tfrac1023x3r)+35x3 = -20 ;Longrightarrow; -2023x3 +35x3 = -20 ;Longrightarrow; x3l(35 - 2023r) = -20
  1. Agora a terceira equação, substituindo também 35 - 2023 = 805 -2023 = 78523, :
x3 = -20 cdot 23785 = -460785 approx -0.58535
  1. Jogo x1 = -1023(-0.58535)approx 0.2548, x2 = 3(0.2548)+55approx 1.1529 na equação x^* approx 0.2548 1.1529 -0.5854 :
Calculemos o coeficiente:
logo
Então
Portanto a solução exata é

Passo 3

Agora montamos o vetor de erro da iteração 1 (isto é, e^(1) = x^* - x^(1) = 0.2548 1.1529 -0.5854 - 0 1 0.5 = 0.2548 0.1529 -1.0854 ):
[
e^{(1)} = x^* - x^{(1)}

.
]

Passo 4

A norma do máximo (ou infinito) é o maior valor absoluto das componentes:
|e^(1)|infty = maxl(|0.2548|,,|0.1529|,,|-1.0854|r) = 1.0854

Resposta

O erro cometido na iteração do item (b), medido pela norma do máximo, é aproximadamente
boxed|e^(1)|infty approx 1.0854

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