Sejam a matriz A e o vetor b dados por:
A=[rrr 0 & 1 & 1 1 & 1 & 4 -4 & -1 & 2 ] b=[r -1 2 -2 ]
Determine as matrizes L, U e P da decomposição P A=L U usando pivoteamento parcial.

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é uma matriz
A = 0 & 1 & 1 1 & 1 & 4 -4&-1 & 2
e a ideia é fazer a fatoração com pivoteamento parcial, ou seja, encontrar uma matriz de permutação P,A ;=; L,U , uma (lower triangular com 1’s na diagonal) e uma (upper triangular) tais que
Conteúdo envolvido:
  • Pivoteamento parcial (escolher o maior pivô em cada coluna e trocar linhas).
  • Eliminação de Gauss para montar .
  • Armazenar os multiplicadores na .
A partir do Passo 2 a gente mete o braço na massa e resolve passo a passo.

Passo 2

Primeira coluna: olhamos os elementos P1 = 0&0&1 0&1&0 1&0&0 .
O maior em módulo é P1 A = -4 & -1 & 2 1 & 1 & 4 0 & 1 & 1 (linha 3), então trocamos linha 1 ↔ linha 3.
Matriz de permutação parcial neste passo:
ell21 = 1-4 = -tfrac14, ell31 = 0-4 = 0
Aplicando U^(1) = -4 & -1 & 2 0 & 3/4 & 9/2 0 & 1 & 1 , Lparcial = 1 & 0 & 0 -1/4& 1 & 0 0 & 0 & 1 , vem
Agora os multiplicadores para zerar abaixo de :
Eliminação:
  • Linha 2 ← Linha 2 − ·(Linha 1)
  • Linha 3 ← Linha 3 − ·(Linha 1) (essa não muda)
Resulta em

Passo 3

Segunda coluna: agora olhamos os pivôs candidatas em P2 = 1&0&0 0&0&1 0&1&0 e U^(1) ;xrightarrowswap 2rightarrow3; -4 & -1 & 2 0 & 1 & 1 0 & 3/4 & 9/2 . O maior em módulo é ell32 = U32U22 = 3/41 = tfrac34 (linha 3).
Então trocamos linha 2 ↔ linha 3 (só em Linha 3 ;; Linha 3 - ell32,Linha 2 ;Longrightarrow; U^(2) = -4 & -1 & 2 0 & 1 & 1 0 & 0 & 15/4 ) e também trocamos os elementos correspondentes de na coluna 1 (antes do pivô):
Troca em :
Troca em (coluna 1, linhas 2 e 3):
antes era , ; vira , .
Agora o pivô é . Calculamos
Eliminação na linha 3:

Resposta

Juntando tudo, a permutação total é
P = P2,P1 = 0&0&11&0&00&1&0,
e as matrizes L = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -tfrac14&tfrac34&1 , U = -4 & -1 & 2 0 & 1 & 1 0 & 0 & 15/4 e finais são
Pronto, temos com pivoteamento parcial!

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