Sejam a matriz A e o vetor b dados por:
A=[rrr 2 & -2 & 3 4 & 2 & 1 -6 & -2 & 2 ] b=[l 3 1 2 ]
Determine as matrizes L e U da decomposição A=L U.

Passo 1

Beleza, temos a matriz
A= 2 & -2 & 3 4 & 2 & 1 -6 & -2 & 2 e queremos encontrar L,Utais que A=L,U
Isso é uma decomposição LU pelo método de Doolittle, em que:
  • L é triangular inferior com 1’s na diagonal principal.
  • U é triangular superior.
    Vamos usar eliminação de Gauss passo a passo, guardando os multiplicadores em L e as entradas ajustadas em U.

Passo 2

Primeiro, montamos a forma
L= 1 & 0 & 0 ell21 & 1 & 0 ell31 & ell32 & 1 , U= u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33
No método de Doolittle, o primeiro passo é:
u₁₁ = a₁₁ = 2,
u₁₂ = a₁₂ = –2,
u₁₃ = a₁₃ = 3.
Em seguida encontramos os multiplicadores da 1ª coluna:
ell21 = a21u11 = 42 = 2, ell31 = a31u11 = -62 = -3

Passo 3

Agora ajustamos a submatriz 2×2 no canto superior direito para obter u₂₂ e u₂₃:
u22 = a22 - ell21,u12 = 2 - 2cdot(-2) = 2 + 4 = 6,
u23 = a23 - ell21,u13 = 1 - 2cdot 3 = 1 - 6 = -5

Passo 4

Faltam ell32 = a32 - ell31,u12u22 = -2 - (-3)cdot(-2)6 = -2 - 66 = -tfrac86 = -tfrac43 e u33 = a33 - ell31,u13 - ell32,u23 = 2 - (-3)cdot 3 - l(-tfrac43r)cdot(-5) = 2 + 9 - tfrac203 = 11 - tfrac203 = tfrac133 . Primeiro,
Por fim,

Resposta

L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 -3 & -tfrac43 & 1 , U = 2 & -2 & 3 0 & 6 & -5 0 & 0 & tfrac133

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