yj+1=yj+h f(xj+1, yj+1), j=0,1, ldots
a) Discuta uma implementação do método para f linear (i.e., f(x, y)=a x+b y ). Idem para f não linear.
Estratégia para o caso f(x, y) não linear em y
Para o cálculo de yj+1 no método de Euler Regressivo, a aproximação yj+1 deve ser vista como raiz Y de uma equação não linear da forma
F(Y)=Y-yj+h f(xj+1, Y)=0
Neste caso, é claro que devem ser utilizados os métodos estudados na primeira unidade da disciplina, mas a análise de existência e unicidade de raiz bem como a convergência do método escolhido é indispensável.
b) Considere o PVI: y^prime=-50 y, y(0)=1, e os métodos de Euler progressivo e regressivo. Usando esses métodos determine uma aproximação para y(1) usando vários valores de h. Compare os resultados obtidos.

Passo 1

Então, o enunciado pede duas coisas:
  1. Na parte (a), discutir como implementar o método de Euler regressivo
    yj+1 ;=; yj ;+; h,fl(xj+1,yj+1r)
    quando
    a) F(Y)=Y - yj + h,f(xj+1,Y)=0 é linear, isto é y'=-50y, y(0)=1, ;
    b) é não–linear, exigindo resolver
    por algum método (Newton, ponto fixo, etc.), lembrando de comentar sobre existência, unicidade e convergência.
  2. Na parte (b), para o PVI
    comparar as aproximações de obtidas pelos métodos de Euler progressivo (explícito) e Euler regressivo (implícito), para diversos tamanhos de passo .
Conteúdo envolvido: métodos numéricos para EDOs (Euler explícito e implícito), resolução de equações não-lineares (Newton), análise de estabilidade. Vamos precisar lembrar como isolar no caso linear e como aplicar Newton ou ponto fixo no caso geral.

Passo 2

(a.1) Caso yj+1 = yj +hl(a,xj+1+b,yj+1r) (linear)
A equação do Euler regressivo fica
yj+1 - h,b,yj+1 ;=; yj + h,a,xj+1 Longrightarrow yj+1(1 - h,b) = yj + h,a,xj+1
Reagrupando termos com yj+1 = yj + h,a,xj+1,1 - h,b, :
Como aqui , isolamos direto:
Isso é ótimo: você implementa numa linha de código, sem iterar nada.

Passo 3

(a.2) Caso F(Y);=;Y - yj + h,fl(xj+1,Yr), não–linear em Y^(k+1) = Y^(k) - Fl(Y^(k)r) F'!l(Y^(k)r),
Agora a incógnita Y = yj - h,f(xj+1,Y) =: G(Y), aparece dentro de . Definimos
e precisamos achar tal que . Duas estratégias comuns:
  1. Método de Newton:
    • Escolho um chute inicial (por ex. );
    • Itero onde .
    • Repito até ficar pequeno.
  2. Método de ponto fixo: escrevo
    e tento iterar , conferindo se pra garantir convergência.
Em ambos os casos é fundamental discutir:
  • Existência e unicidade: pelo Teorema do Ponto Fixo ou do Valor Médio, se for Lipschitz em com constante e , tem unicidade.
  • Convergência do método escolhido: Newton tem ordem 2 mas requer chute razoável; ponto fixo é linear, exige pequeno para que .

Passo 4

(b) PVI yj+1 = yj + hl(-50,yjr) = (1 - 50h),yj
  1. Euler progressivo (explícito):
    yj+1 = yj + hl(-50,yj+1r) ;Longrightarrow; yj+1(1 + 50h) = yj ;Longrightarrow; yj+1 = yj1 + 50h
    Após passos, .
  2. Euler regressivo (implícito):
    Depois de passos: .
Vamos comparar para ( ) e três valores de :
h = 0.1
  • Explícito: , logo (explosão!).
  • Implícito: .
h = 0.02
  • Explícito: , dá .
  • Implícito: .
h = 0.01
  • Explícito: , então .
  • Implícito: .
O exato é . Vê que:
  • Euler explícito só é estável se , ou seja .
  • Euler implícito é A-estável, funciona pra qualquer , sempre dá algo decrescente semelhante a exponencial.

Resposta

(a) Para yj+1 = yj + h,a,xj+11 - h,b a iteração do Euler regressivo é direta:
Para não–linear usamos Newton ou ponto fixo para resolver
,
cuidando de garantir existência, unicidade e convergência.
(b) No PVI :
  • Euler explícito: , estável só se .
  • Euler implícito: , estável para qualquer .
Exemplos numéricos mostram que o explícito explode ou se anula para grandes, enquanto o implícito sempre segue a “decadência exponencial” do exato.

Exercícios relacionados