a) Discuta uma implementação do método para linear (i.e., ). Idem para não linear.
Estratégia para o caso não linear em
Para o cálculo de no método de Euler Regressivo, a aproximação deve ser vista como raiz de uma equação não linear da forma
Neste caso, é claro que devem ser utilizados os métodos estudados na primeira unidade da disciplina, mas a análise de existência e unicidade de raiz bem como a convergência do método escolhido é indispensável.
b) Considere o PVI: , e os métodos de Euler progressivo e regressivo. Usando esses métodos determine uma aproximação para usando vários valores de . Compare os resultados obtidos.
Passo 1
Então, o enunciado pede duas coisas:
Na parte (a), discutir como implementar o método de Euler regressivo
quando
a) é linear, isto é ;
b) é não–linear, exigindo resolver
por algum método (Newton, ponto fixo, etc.), lembrando de comentar sobre existência, unicidade e convergência.
Na parte (b), para o PVI
comparar as aproximações de obtidas pelos métodos de Euler progressivo (explícito) e Euler regressivo (implícito), para diversos tamanhos de passo .
Conteúdo envolvido: métodos numéricos para EDOs (Euler explícito e implícito), resolução de equações não-lineares (Newton), análise de estabilidade. Vamos precisar lembrar como isolar no caso linear e como aplicar Newton ou ponto fixo no caso geral.
Passo 2
(a.1) Caso (linear)
A equação do Euler regressivo fica
Reagrupando termos com :
Como aqui , isolamos direto:
Isso é ótimo: você implementa numa linha de código, sem iterar nada.
Passo 3
(a.2) Caso não–linear em
Agora a incógnita aparece dentro de . Definimos
e precisamos achar tal que . Duas estratégias comuns:
Método de Newton:
Escolho um chute inicial (por ex. );
Iteroonde .
Repito até ficar pequeno.
Método de ponto fixo: escrevo
e tento iterar , conferindo se pra garantir convergência.
Em ambos os casos é fundamental discutir:
Existência e unicidade: pelo Teorema do Ponto Fixo ou do Valor Médio, se for Lipschitz em com constante e , tem unicidade.
Convergência do método escolhido: Newton tem ordem 2 mas requer chute razoável; ponto fixo é linear, exige pequeno para que .