(a) Calcule três iterações do método de Jacobi partindo-se de x^(0)=[l1 1 1].
(b) A matriz A do sistema satisfaz o critério das linhas (é estritamente diagonal dominante)?
(c) Para o sistema (*), as iterações do método de Jacobi e a solução do sistema x^* satisfazem
l x 1 ^ ( k + 1 ) = 1 4 ( 5 - x 2 ^ ( k ) - x 3 ^ ( k ) ) x 2 ^ ( k + 1 ) = 1 4 ( 2 - x 1 ^ ( k ) - x 3 ^ ( k ) ) x 3 ^ ( k + 1 ) = 1 4 ( 5 - x 1 ^ ( k ) - x 2 ^ ( k ) ) l x1^*=14(5-x2^*-x3^*) x2^*=14(2-x1^*-x3^*) x3^*=14(5-x1^*-x2^*)
Para cada valor de k >= 0, seja Mk:=max |x1^(k)-x1^*|,|x2^(k)-x2^*|,|x3^(k)-x3^*|. Mostre que
Mk+1 <= 12 Mk, forall k >= 0
(d) Utilize o item anterior para concluir que o Método de Jacobi converge no caso do sistema (*).
(e) Se trocarmos a ordem das incógnitas (x1, x2, x3) longmapsto(x2, x3, x1) em (*), obtemos o sistema
o qual fornece, obviamente, a mesma solução que (*).
(f) A matriz B satisfaz o critério das linhas?
(g) Para o sistema (**), as iteradas do método de Jacobi e a solução do sistema x^* satisfazem
l x 3 ^ ( k + 1 ) = 1 1 ( 5 - x 2 ^ ( k ) - 4 x 1 ^ ( k ) ) x 2 ^ ( k + 1 ) = 1 1 ( 2 - 4 x 2 ^ ( k ) - x 1 ^ ( k ) ) x 1 ^ ( k + 1 ) = 1 1 ( 5 - x 2 ^ ( k ) - 4 x 3 ^ ( k ) ) l x3^*=11(5-x2^*-4 x1^*) x2^*=11(2-4 x2^*-x1^*) x1^*=11(5-x2^*-4 x3^*)
Para cada valor de k >= 0, seja Mk:=max |x1^(k)-x1^*|,|x2^(k)-x2^*|,|x3^(k)-x3^*|. Mostre que
Mk+1 >= 3 Mk, forall k >= 0
Utilize o item anterior para concluir que o Método de Jacobi não converge no caso do sistema (**).
Passo 1
O enunciado trata do sistema
A= 4 & 1 & 1 1 & 4 & 1 1 & 1 & 4 , b=525,
queremos (a) três iterações de Jacobi a partir de x^(0)=(1,1,1)^T; (b) verificar se A é estritamente diagonal dominante por linhas; (c) mostrar que, definindo
Mk=maxi=1,2,3l|xi^(k)-xi^*r|,
vale
Mk+1<=12Mk;
(d) concluir convergência; depois (e) trocar a ordem das incógnitas e formar o sistema B; (f) checar se B é diagonal dominante; (g) mostrar então que para B a iteração satisfaz
(b) Sim, A é estritamente diagonal dominante por linhas.
(c) Mostra-se que
Mk+1<=12Mk,forall k>=0
(d) Como tfrac12<1, segue Mkto0 e o método converge.
(e) A permutação gera B com mesma solução reordenada.
(f) Não, B não é diagonal dominante por linhas.
(g) Prova-se que