1. Considere o sistema linear
overbrace[lll 4 & 1 & 1 1 & 4 & 1 1 & 1 & 4 ]^A times[l x1 x2 x3 ]=[c 5 2 5 ]
(a) Calcule três iterações do método de Jacobi partindo-se de x^(0)=[l1 1 1].
(b) A matriz A do sistema satisfaz o critério das linhas (é estritamente diagonal dominante)?
(c) Para o sistema (*), as iterações do método de Jacobi e a solução do sistema x^* satisfazem
l x 1 ^ ( k + 1 ) = 1 4 ( 5 - x 2 ^ ( k ) - x 3 ^ ( k ) ) x 2 ^ ( k + 1 ) = 1 4 ( 2 - x 1 ^ ( k ) - x 3 ^ ( k ) ) x 3 ^ ( k + 1 ) = 1 4 ( 5 - x 1 ^ ( k ) - x 2 ^ ( k ) ) l x1^*=14(5-x2^*-x3^*) x2^*=14(2-x1^*-x3^*) x3^*=14(5-x1^*-x2^*)
Para cada valor de k >= 0, seja Mk:=max |x1^(k)-x1^*|,|x2^(k)-x2^*|,|x3^(k)-x3^*|. Mostre que
Mk+1 <= 12 Mk, forall k >= 0
(d) Utilize o item anterior para concluir que o Método de Jacobi converge no caso do sistema (*).
(e) Se trocarmos a ordem das incógnitas (x1, x2, x3) longmapsto(x2, x3, x1) em (*), obtemos o sistema
overbrace[lll 1 & 1 & 4 4 & 1 & 1 1 & 4 & 1 ]^B times[l x2 x3 x1 ]=[l 5 2 5 ] (* *)
o qual fornece, obviamente, a mesma solução que (*).
(f) A matriz B satisfaz o critério das linhas?
(g) Para o sistema (**), as iteradas do método de Jacobi e a solução do sistema x^* satisfazem
l x 3 ^ ( k + 1 ) = 1 1 ( 5 - x 2 ^ ( k ) - 4 x 1 ^ ( k ) ) x 2 ^ ( k + 1 ) = 1 1 ( 2 - 4 x 2 ^ ( k ) - x 1 ^ ( k ) ) x 1 ^ ( k + 1 ) = 1 1 ( 5 - x 2 ^ ( k ) - 4 x 3 ^ ( k ) ) l x3^*=11(5-x2^*-4 x1^*) x2^*=11(2-4 x2^*-x1^*) x1^*=11(5-x2^*-4 x3^*)
Para cada valor de k >= 0, seja Mk:=max |x1^(k)-x1^*|,|x2^(k)-x2^*|,|x3^(k)-x3^*|. Mostre que
Mk+1 >= 3 Mk, forall k >= 0
Utilize o item anterior para concluir que o Método de Jacobi não converge no caso do sistema (**).

Passo 1

O enunciado trata do sistema
A= 4 & 1 & 1 1 & 4 & 1 1 & 1 & 4 , b=525,
queremos (a) três iterações de Jacobi a partir de x^(0)=(1,1,1)^T; (b) verificar se A é estritamente diagonal dominante por linhas; (c) mostrar que, definindo
Mk=maxi=1,2,3l|xi^(k)-xi^*r|,
vale
Mk+1<=12Mk;
(d) concluir convergência; depois (e) trocar a ordem das incógnitas e formar o sistema B; (f) checar se B é diagonal dominante; (g) mostrar então que para B a iteração satisfaz
Mk+1>=3,Mk
e, portanto, diverge.

Passo 2

As fórmulas do método de Jacobi são
x1^(k+1)=14l(5 - x2^(k) - x3^(k)r), x2^(k+1)=14l(2 - x1^(k) - x3^(k)r), x3^(k+1)=14l(5 - x1^(k) - x2^(k)r)
Partindo de x^(0)=(1,1,1)^T:
x^(1):\quad
x1^(1)=5-1-14=tfrac34, x2^(1)=2-1-14=0, x3^(1)=5-1-14=tfrac34
x^(2):\quad
x1^(2)=5-0-0.754=1,0625, x2^(2)=2-0.75-0.754=0,125, x3^(2)=5-0.75-04=1,0625
x^(3):\quad
x1^(3)=5-0.125-1.06254=0,953125, x2^(3)=2-1.0625-1.06254=-0,03125, x3^(3)=5-1.0625-0.1254=0,953125

Passo 3

Para cada linha de
A=4&1&11&4&11&1&4
temos |aii|=4 e soma dos demais |aij|=1+1=2, logo
4>2
em todas as linhas. Portanto A é estritamente diagonal dominante por linhas.

Passo 4

Se x^* é a solução fixa, então por exemplo
x1^(k+1)-x1^*=14l[(5 - x2^(k) - x3^(k))-(5 - x2^* - x3^*)r] =-14l[(x2^(k)-x2^*)+(x3^(k)-x3^*)r]
Tomando módulo e usando max|x2^(k)-x2^*|,|x3^(k)-x3^*|<= Mk
l|x1^(k+1)-x1^*r|<=14l(|x2^(k)-x2^*|+|x3^(k)-x3^*|r) <=14(2Mk)=12Mk
Analogamente para x2 e x3. Logo
Mk+1<=12Mk,forall k>=0

Passo 5

Como tfrac12<1, segue por iteração que Mk<=(tfrac12)^kM0to0. Portanto x^(k)to x^* e o método de Jacobi converge no caso de (*).

Passo 6

Se permutamos (x1,x2,x3)mapsto(x2,x3,x1) obtemos
B=1&1&44&1&11&4&1, tilde x=(x2,x3,x1)^T, b=(5,2,5)^T,
que tem exatamente a mesma solução reordenada.

Passo 7

Para
B=1&1&44&1&11&4&1
na primeira linha |b11|=1 e soma dos demais |1|+|4|=5, logo
1<5
e B não é estritamente diagonal dominante por linhas.

Passo 8

No método de Jacobi para B tem-se, por ex.,
x3^(k+1)=5 - x2^(k) -4,x1^(k),
e fixo x^*,
x3^(k+1)-x3^*=-l[(x2^(k)-x2^*)+4(x1^(k)-x1^*)r]
Então
l|x3^(k+1)-x3^*r|>= 4l|x1^(k)-x1^*r|-l|x2^(k)-x2^*r| >=4Mk - Mk =3Mk
Logo Mk+1>=3Mk, e como 3>1 o erro cresce exponencialmente e o método diverge em (**).

Resposta

(a)
x^(1)=l(0,75,;0,;0,75r)^T, x^(2)=l(1,0625,;0,125,;1,0625r)^T, x^(3)=l(0,953125,;-0,03125,;0,953125r)^T
(b) Sim, A é estritamente diagonal dominante por linhas.
(c) Mostra-se que
Mk+1<=12Mk,forall k>=0
(d) Como tfrac12<1, segue Mkto0 e o método converge.
(e) A permutação gera B com mesma solução reordenada.
(f) Não, B não é diagonal dominante por linhas.
(g) Prova-se que
Mk+1>=3Mk,
logo o erro cresce e o método diverge para (**).

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