Seja In o valor aproximado da integral integral0^1 1x+1 d x calculado usando a Regra dos Trapézios com [0,1] subdividido em n subintervalos de igual comprimento.
Calcule I4 e verifique se a diferença I4-ln (2) é positiva ou negativa.

Passo 1

Tranquilo, vamos começar resumindo o que o enunciado pede. A integral que queremos aproximar é
integral0^11x+1,dx
usando a Regra dos Trapézios com subintervalos iguais.
Conteúdo:
  • Noção de integral definida.
  • Regra dos Trapézios para aproximação numérica.
  • Comparar com o valor exato .
O que precisamos:
  1. Dividir o intervalo em 4 pedaços (achar o tamanho de cada pedaço ).
  2. Avaliar a função nesses pontos.
  3. Aplicar a fórmula do trapézio.
  4. Comparar o resultado com .

Passo 2

A Regra dos Trapézios para h = b-an, xi = a + i,h, i=0,1,dots,n, subintervalos define
In = h2l(f(x0) + 2sumi=1^n-1f(xi) + f(xn)r)
e
h = 1-04 = 0.25
Aqui , , , então

Passo 3

Agora calculamos os pontos e a função:
f(xi)=1xi+1, , , , , .
Para cada um,
Vamos anotar:
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula:
I4 = 0.252l(f(x0)+2[f(x1)+f(x2)+f(x3)] + f(x4)r)
Isso é
I4 = 0.125l(1 + 2(0.8+0.6667+0.5714) + 0.5r)
Dentro do parênteses:
1 + 2cdot(2.0381) + 0.5 = 1 + 4.0762 + 0.5 = 5.5762
Logo
I4 = 0.125 times 5.5762 approx 0.6970

Passo 5

O valor exato da integral é I4 - ln(2) approx 0.6970 - 0.6931 = 0.0039, .
Calculamos a diferença
que é positivo. Isso faz sentido porque é convexa em e a Regra dos Trapézios superestima nesse caso.

Resposta

, e a diferença é positiva ( ).

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