Considere o sólido definido acima do plano
, fora do cone
e dentro da esfera
. O volume desse sólido pode ser calculado através da integral tripla em coordenadas esféricas.
Qual das expressões abaixo possibilita esse cálculo?
a)
b)
c)
d)
Qual das expressões abaixo possibilita esse cálculo?
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, então o exercício quer o volume do sólido que é:
‐ acima do plano (ou seja,
),
‐ fora do cone ,
‐ e dentro da esfera .
O assunto aqui é integração tripla em coordenadas esféricas. A gente vai precisar lembrar que em esféricas:
‐ acima do plano
‐ fora do cone
‐ e dentro da esfera
O assunto aqui é integração tripla em coordenadas esféricas. A gente vai precisar lembrar que em esféricas:
e que o elemento de volume é
Passo 2
Primeiro, traduzir cada “restrição” em limites para
:
- Esfera
vira , então . - Plano
(isto é, ) em esféricas é , e “acima” dele significa . - Cone
dá . Como estamos “fora” do cone, ficamos com os maiores, ou seja . - Ângulo azimutal
fica livre em torno do eixo, de a .
Passo 3
Agora é montar a integral de volume. A gente integra
em
,
e
com os limites que achamos:
Passo 4
Examinar as alternativas: a única que tem exatamente
é a alternativa d).
Resposta
d)