Considere o sólido definido acima do plano x y, fora do cone z=raizx^2+y^2 e dentro da esfera x^2+y^2+z^2=4. O volume desse sólido pode ser calculado através da integral tripla em coordenadas esféricas.
Qual das expressões abaixo possibilita esse cálculo?
a) integral0^2 pi integral0^pi / 4 integral0^2 rho^2 sen(phi) d rho d phi d theta
b) integral0^2 pi integralpi / 4^pi / 2 integral0^2 1 d rho d phi d theta
c) integral0^2 pi integral0^pi / 4 integral0^2 1 d rho d phi d theta
d) integral0^2 pi integralpi / 4^pi / 2 integral0^2 rho^2 sen(phi) d rho d phi d theta

Passo 1

Beleza, então o exercício quer o volume do sólido que é:
‐ acima do plano xy (ou seja, z>=0),
‐ fora do cone z=raizx^2+y^2,
‐ e dentro da esfera x^2+y^2+z^2=4.
O assunto aqui é integração tripla em coordenadas esféricas. A gente vai precisar lembrar que em esféricas:
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi
e que o elemento de volume é
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 2

Primeiro, traduzir cada “restrição” em limites para (rho,phi,theta):
  1. Esfera x^2+y^2+z^2=4 vira rho=2, então 0<=rho<=2.
  2. Plano xy (isto é, z=0) em esféricas é phi=pi/2, e “acima” dele significa 0<=phi<=pi/2.
  3. Cone z=raizx^2+y^2 rhocosphi=rhosinphiimpliesphi=pi/4. Como estamos “fora” do cone, ficamos com os phi maiores, ou seja pi/4<=phi<=pi/2.
  4. Ângulo azimutal theta fica livre em torno do eixo, de 0 a 2pi.

Passo 3

Agora é montar a integral de volume. A gente integra rho^2sinphi em rho, phi e theta com os limites que achamos:
integraltheta=0^2pi!integralphi=pi/4^pi/2!integralrho=0^2rho^2sinphi;drho,dphi,dtheta

Passo 4

Examinar as alternativas: a única que tem exatamente
integral0^2piintegralpi/4^pi/2integral0^2rho^2sin(phi),drho,dphi,dtheta
é a alternativa d).

Resposta

d) integral0^2 pi!!integralpi / 4^pi / 2!!integral0^2rho^2,sinphi;drho,dphi,dtheta

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