Use aritmética de arredondamento, com quatro algarismos e as fórmulas (1), (2) abaixo para encontrar a aproximação mais precisas para as raízes das seguintes equações quadráticas. Calcule os erros absolutos e os erros relativos.
x1=-b+raizb^2-4 a c2 a e x2=-b-raizb^2-4 a c2 a x1=-2 cb+raizb^2-4 a c e x2=-2 cb-raizb^2-4 a c
pi x^2+13 x+1=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente aproximar as raízes da equação
pi x^2 + 13x +1 = 0
usando duas fórmulas clássicas de equação quadrática:
(1)
x1,2 = -bpmraizb^2-4ac2a
e (2)
x1 = -2c,b+raizb^2-4ac, x2 = -2c,b-raizb^2-4ac
A parada é fazer todo cálculo em aritmética de arredondamento com 4 algarismos significativos, depois calcular erro absoluto e erro relativo comparando com o valor “exato” (com bastante casas).
Para isso a gente vai precisar:
  • Identificar , , .
  • Calcular o discriminante e .
  • Fazer as duas versões de cada raiz arredondando pra 4 sig. dígitos a cada passo.
  • Escolher a melhor aproximação de cada raiz (aquela que tiver menor erro).
  • Por fim, achar o valor exato (com precisão alta, só pra referência) e computar os erros.

Passo 2

  1. Discriminante e raiz:
De
raizDe. Arredondando pra 4 algarismos significativos dá
2pi approx 6,283
  1. Denominador comum , arredondado pra 4 sig. dígitos:

Passo 3

Agora as duas fórmulas:
a) Fórmula clássica para x1^(1)=-13 + 12,506,283 = -0,506,283 approx -0,07958 (4 sig dígitos) e x2^(1)=-13 - 12,506,283 = -25,506,283 approx -4,058 (4 sig dígitos) :
x1^(2)=-2cdot113 + 12,50 = -225,50 approx -0,07843 (4 sig dígitos) í
x2^(2)=-2cdot113 - 12,50 = -20,50 approx -4,040 (4 sig dígitos) í
b) Fórmula alternativa para evitar cancelamento:
í
í

Passo 4

Comparamos com os valores “exatos” (usando calculadora de alta precisão):
x1^rm exatoapprox -0,0787774, x2^rm exatoapprox -4,058992
Erros absolutos e relativos de cada aproximação:
Para :
  • Versão (1): ,
    .
  • Versão (2): ,
    .
Para :
  • Versão (1): ,
    .
  • Versão (2): ,
    .
Fica claro que a melhor combinação é:
  • Para a raiz de menor módulo usar a fórmula alternativa (2).
  • Para a raiz de maior módulo usar a fórmula clássica (1).

Resposta

Aproximações finais (4 algarismos, melhores fórmulas):
boxedx1 approx -0,07843, x2 approx -4,058
Erros absolutos e relativos:
&Para x1: Erm abs=0,00035, Erm rel=0,444%, &Para x2: Erm abs=0,00099, Erm rel=0,0244%

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