Use aritmética de arredondamento, com quatro algarismos e as fórmulas (1), (2) abaixo para encontrar a aproximação mais precisas para as raízes das seguintes equações quadráticas. Calcule os erros absolutos e os erros relativos.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente aproximar as raízes da equação
usando duas fórmulas clássicas de equação quadrática:
(1)
(1)
e (2)
A parada é fazer todo cálculo em aritmética de arredondamento com 4 algarismos significativos, depois calcular erro absoluto e erro relativo comparando com o valor “exato” (com bastante casas).
Para isso a gente vai precisar:
- Identificar
, , . - Calcular o discriminante
e . - Fazer as duas versões de cada raiz arredondando pra 4 sig. dígitos a cada passo.
- Escolher a melhor aproximação de cada raiz (aquela que tiver menor erro).
- Por fim, achar o valor exato (com precisão alta, só pra referência) e computar os erros.
Passo 2
- Discriminante e raiz:
- Denominador comum
, arredondado pra 4 sig. dígitos:
Passo 3
Agora as duas fórmulas:
a) Fórmula clássica para
e
:
b) Fórmula alternativa para evitar cancelamento:
Passo 4
Comparamos com os valores “exatos” (usando calculadora de alta precisão):
Erros absolutos e relativos de cada aproximação:
Para
:
- Versão (1):
,
. - Versão (2):
,
.
Para
:
- Versão (1):
,
. - Versão (2):
,
.
Fica claro que a melhor combinação é:
- Para a raiz de menor módulo usar a fórmula alternativa (2).
- Para a raiz de maior módulo usar a fórmula clássica (1).
Resposta
Aproximações finais (4 algarismos, melhores fórmulas):
Erros absolutos e relativos: