Considere a tabela
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0 | 0,15 | 0,22 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,75 | 0,8 |
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1 | 1,1618 | 1,2461 | 1,3499 | 1,4918 | 1,6487 | 1,8221 | 2,1170 | 2,2255 |
(a) Quais pontos da tabela você usaria para estimar o valor
em
, através de um polinômio interpolador do segundo grau ? Justifique.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é usar interpolação polinomial de grau 2 pra estimar
em
. A matéria envolvida é “Interpolação Polinomial” (pode ser Lagrange ou Newton), e a gente vai precisar escolher 3 pontos da tabela pra montar um polinômio de grau 2. Depois é só justificar por que esses pontos são os melhores para minimizar o erro.
Passo 2
Por definição, um polinômio interpolador de grau 2 precisa de 3 pontos
.
Teoria rapidinha: quanto mais pertinho de estiverem esses pontos, menor tende a ser o erro de interpolação, já que o termo de resto envolve a quarta derivada de
vezes
. Então escolhemos os pontos com
mais baixos.
Teoria rapidinha: quanto mais pertinho de
Passo 3
Vamos calcular as distâncias
para cada
da tabela:
-
: -
: -
:
Os próximos mais perto seriam(para de novo) ou (também ), mas já temos 3 candidatos com distâncias . Esses 3 são os melhores.
Resposta
Os pontos escolhidos para montar o polinômio de grau 2 são: