Considere a tabela
x 0 0,15 0,22 0,3 0,4 0,5 0,6 0,75 0,8
e^x 1 1,1618 1,2461 1,3499 1,4918 1,6487 1,8221 2,1170 2,2255
(a) Quais pontos da tabela você usaria para estimar o valor e^x em x=0,45, através de um polinômio interpolador do segundo grau ? Justifique.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é usar interpolação polinomial de grau 2 pra estimar em . A matéria envolvida é “Interpolação Polinomial” (pode ser Lagrange ou Newton), e a gente vai precisar escolher 3 pontos da tabela pra montar um polinômio de grau 2. Depois é só justificar por que esses pontos são os melhores para minimizar o erro.

Passo 2

Por definição, um polinômio interpolador de grau 2 precisa de 3 pontos .
Teoria rapidinha: quanto mais pertinho de estiverem esses pontos, menor tende a ser o erro de interpolação, já que o termo de resto envolve a quarta derivada de vezes . Então escolhemos os pontos com mais baixos.

Passo 3

Vamos calcular as distâncias para cada da tabela:
  • :
  • :
  • :
    Os próximos mais perto seriam (para de novo) ou (também ), mas já temos 3 candidatos com distâncias . Esses 3 são os melhores.

Resposta

Os pontos escolhidos para montar o polinômio de grau 2 são:
(0,30,,1,3499), (0,40,,1,4918), (0,50,,1,6487)

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