Use os valores a seguir e a aritmética de arredondamento de cinco algarismos para construir o polinômio interpolador de Hermite e aproximar sen 0,34 .
x sen x Dx sen x=cos x
0,30 0,29552 0,95534
0,32 0,31457 0,94924
0,35 0,34290 0,93937
Determine um limitante de erro para a aproximação na parte (a) e compare-o com o erro real.

Passo 1

Beleza, bora lá. A questão pede pra gente usar interpolação de Hermite (que é igual à de Newton, só que com os nós duplicados pra incluir derivadas) pra aproximar x0=0.30,;f(x0)=0.29552,;f'(x0)=0.95534, usando os pontos
x1=0.32,;f(x1)=0.31457,;f'(x1)=0.94924,
x2=0.35,;f(x2)=0.34290,;f'(x2)=0.93937
Conteúdo: interpolação de Hermite via diferenças divididas repetidas, aritmética de 5 algarismos e o limitante de erro da fórmula de Hermite. A gente vai montar a tabela de diferenças, escrever o polinômio em forma de Newton, avaliar em , depois achar o limitante de erro teórico e comparar com o erro numérico real.

Passo 2

Vamos montar a sequência de nós repetidos e as primeiras diferenças divididas (tudo arredondado a 5 algarismos):
Definimos
z0=z1=0.30, z2=z3=0.32, z4=z5=0.35
Tabela de diferenças:
  1. zerésima diferença f[z0]=0.29552,;f[z1]=0.29552,; f[z2]=0.31457,;f[z3]=0.31457,; f[z4]=0.34290,;f[z5]=0.34290 :
f[z0,z1]=f'(0.30)=0.95534, f[z1,z2]=0.31457-0.295520.02=0.95250,
  1. primeira diferença f[z2,z3]=f'(0.32)=0.94924, f[z3,z4]=0.34290-0.314570.03=0.94433, :
f[z4,z5]=f'(0.35)=0.93937
f[z0,z1,z2]=0.95250-0.955340.02=-0.14200,
f[z1,z2,z3]=0.94924-0.952500.02=-0.16300,
  1. segunda diferença f[z2,z3,z4]=0.94433-0.949240.03=-0.16367, :
f[z3,z4,z5]=0.93937-0.944330.03=-0.16533
f[z0z3]=-0.16300-(-0.14200)0.02=-1.0500,
f[z1z4]=-0.16367-(-0.16300)0.05=-0.01340,
f[z2z5]=-0.16533-(-0.16367)0.03=-0.05533
  1. terceira diferença:
f[z0z4]=-0.01340-(-1.0500)0.05=20.732, f[z1z5]=-0.05533-(-0.01340)0.05=-0.83860
f[z0z5]=-0.83860-20.7320.05=-431.41
  1. quarta diferença:
  1. quinta diferença:

Passo 3

Escrevendo o polinômio de Newton (grau 5) e avaliando em u = x-0.30=0.04, v = x-0.32=0.02, w = x-0.35=-0.01 . Primeiro, calculemos
P(x)&=f[z0] +f[z0,z1](x-z0) +f[z0,z1,z2](x-z0)(x-z1) & +f[z0z3](x-z0)(x-z1)(x-z2) & +f[z0z4](x-z0)(x-z1)(x-z2)(x-z3) & +f[z0z5](x-z0)cdots(x-z4)
P(x) em forma Newton é
P(0.34)approx 0.29552+0.038214-0.0002272-0.00003360+0.00001327+0.000002761 =0.333489
Substituindo e arredondando a 5 algarismos a cada termo:
T0 = 0.29552
T1 = 0.95534·0.04 = 0.038214
T2 = (–0.14200)·(0.04)² = –0.0002272
T3 = (–1.0500)·(0.04)²·0.02 = –0.00003360
T4 = 20.732·(0.04)²·(0.02)² = 0.00001327
T5 = (–431.41)·(0.04)²·(0.02)²·(–0.01) = 0.000002761
Somando tudo:

Passo 4

Limite de erro da interpolação de Hermite para grau 5:
R5(x) =f^(6)(xi)6!,(x-0.30)^2(x-0.32)^2(x-0.35)^2
Como |R5(0.34)|<=16!,(0.04)^2(0.02)^2(0.01)^2 =6.4times10^-11720approx8.9times10^-14 , temos e .
Logo,

Passo 5

Agora o erro real comparado com o valor exato
sin(0.34)approx0.333487
(entendida por série de Taylor ou calculadora).
Erro real = |P(0.34)-sin(0.34)|approx|0.333489-0.333487|=2.2times10^-6
Repare que o limitante teórico é muito menor que o erro real . Isso ocorre porque usamos valores de e arredondados a cinco algarismos e fizemos várias operações arredondadas, aumentando o erro final.

Resposta

Interpolador de Hermite em P(0.34)approx0.333489 :
|R5(0.34)|<=8.9times10^-14
Limitante de erro teórico:
|P(0.34)-sin(0.34)|approx2.2times10^-6
Erro real da aproximação:

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