Use os valores a seguir e a aritmética de arredondamento de cinco algarismos para construir o polinômio interpolador de Hermite e aproximar sen 0,34 .
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0,30 | 0,29552 | 0,95534 |
0,32 | 0,31457 | 0,94924 |
0,35 | 0,34290 | 0,93937 |
Determine um limitante de erro para a aproximação na parte (a) e compare-o com o erro real.
Passo 1
Beleza, bora lá. A questão pede pra gente usar interpolação de Hermite (que é igual à de Newton, só que com os nós duplicados pra incluir derivadas) pra aproximar
usando os pontos
Conteúdo: interpolação de Hermite via diferenças divididas repetidas, aritmética de 5 algarismos e o limitante de erro da fórmula de Hermite. A gente vai montar a tabela de diferenças, escrever o polinômio em forma de Newton, avaliar em
, depois achar o limitante de erro teórico e comparar com o erro numérico real.
Passo 2
Vamos montar a sequência de nós repetidos e as primeiras diferenças divididas (tudo arredondado a 5 algarismos):
Definimos
Definimos
Tabela de diferenças:
- zerésima diferença
:
- primeira diferença
:
- segunda diferença
:
- terceira diferença:
- quarta diferença:
- quinta diferença:
Passo 3
Escrevendo o polinômio de Newton (grau 5) e avaliando em
. Primeiro, calculemos
P(x) em forma Newton é
Substituindo e arredondando a 5 algarismos a cada termo:
T0 = 0.29552
T1 = 0.95534·0.04 = 0.038214
T2 = (–0.14200)·(0.04)² = –0.0002272
T3 = (–1.0500)·(0.04)²·0.02 = –0.00003360
T4 = 20.732·(0.04)²·(0.02)² = 0.00001327
T5 = (–431.41)·(0.04)²·(0.02)²·(–0.01) = 0.000002761
T0 = 0.29552
T1 = 0.95534·0.04 = 0.038214
T2 = (–0.14200)·(0.04)² = –0.0002272
T3 = (–1.0500)·(0.04)²·0.02 = –0.00003360
T4 = 20.732·(0.04)²·(0.02)² = 0.00001327
T5 = (–431.41)·(0.04)²·(0.02)²·(–0.01) = 0.000002761
Somando tudo:
Passo 4
Limite de erro da interpolação de Hermite para grau 5:
Como
, temos
e
.
Logo,
Logo,
Passo 5
Agora o erro real comparado com o valor exato
(entendida por série de Taylor ou calculadora).
Repare que o limitante teórico
é muito menor que o erro real
. Isso ocorre porque usamos valores de
e
arredondados a cinco algarismos e fizemos várias operações arredondadas, aumentando o erro final.
Resposta
Interpolador de Hermite em
:
Limitante de erro teórico:
Erro real da aproximação: