Tomando varphi(x)=e^-x como função de iteração e x0=0 como chute inicial o Método do Ponto Fixo converge?

Passo 1

Beleza! O enunciado diz: vamos usar o Método do Ponto Fixo com
varphi(x)=e^-x
e chute inicial . A pergunta é: “isso converge?”
O conteúdo envolvido é o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que pede duas coisas para garantir convergência num intervalo :
  1. mapeia em si mesmo, ou seja .
  2. Existe tal que para todo .
    Pra resolver, a gente vai:
    – Calcular e ver onde .
    – Escolher um intervalo que funcione.
    – Mostrar que a iteração entra nesse intervalo a partir de .

Passo 2

Primeiro, a teoria e a derivada:
|varphi'(x)|=e^-x
maxxin[0.3,1]|varphi'(x)| = e^-0.3approx0.7408 <1
Logo
Para ter um , precisamos de . Note que em temos , não serve. Mas se escolhermos um intervalo que não inclua zero, por exemplo , aí:
Isso mostra que, em , é contração com constante .

Passo 3

Agora, para aplicar o Teorema:
  1. Checamos que x^* = e^-x^* manda em si mesmo:
    • ,
    • .
      Logo .
  2. A partir de , a iteração cai em .
  3. Como é contração aí dentro ( ), pelo Teorema de Banach a sequência vai convergir para o único ponto fixo que satisfaz

Resposta

Sim, o Método do Ponto Fixo converge a partir de x^*approx0.567143, . O valor para o qual converge é a solução da equação , numericamente

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