Tomando
como função de iteração e
como chute inicial o Método do Ponto Fixo converge?
Passo 1
Beleza! O enunciado diz: vamos usar o Método do Ponto Fixo com
e chute inicial
. A pergunta é: “isso converge?”
O conteúdo envolvido é o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que pede duas coisas para garantir convergência num intervalo :
O conteúdo envolvido é o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que pede duas coisas para garantir convergência num intervalo
-
mapeia em si mesmo, ou seja . - Existe
tal que para todo .
Pra resolver, a gente vai:
– Calculare ver onde .
– Escolher um intervalo que funcione.
– Mostrar que a iteração entra nesse intervalo a partir de.
Passo 2
Primeiro, a teoria e a derivada:
Logo
Logo
Para ter um
, precisamos de
. Note que em
temos
, não serve. Mas se escolhermos um intervalo que não inclua zero, por exemplo
, aí:
Isso mostra que, em
,
é contração com constante
.
Passo 3
Agora, para aplicar o Teorema:
- Checamos que
manda em si mesmo: -
, -
.
Logo.
-
- A partir de
, a iteração cai em . - Como
é contração aí dentro ( ), pelo Teorema de Banach a sequência vai convergir para o único ponto fixo que satisfaz
Resposta
Sim, o Método do Ponto Fixo converge a partir de
. O valor para o qual converge é a solução da equação
, numericamente