Usando a regra do trapézio sobre cinco pontos, calcular \int_{1,2}^{1,6} \sin x d x

Resposta: 0,391231

Passo 1

O problema pede aproximar a integral \displaystyle \int_{1,2}^{1,6} \sin x \, dx usando a regra do trapézio sobre cinco pontos.
Informações dadas:
  • Limites: a=1,2 e b=1,6.
  • “Cinco pontos” significa que usaremos 5 nós igualmente espaçados, ou seja n=4 subintervalos.

Passo 2

Explicação da regra do trapézio composta (aula curta e prática).
A ideia: dividir o intervalo [a,b] em n subintervalos de comprimento h e aproximar a área sob a curva por trapezóides em cada subintervalo. A fórmula da regra do trapézio composta é
I \approx h\left(\frac{f(x_0)+f(x_n)}{2}+\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right),
onde:
  • I é a aproximação da integral \displaystyle \int_a^b f(x)\,dx;
  • h é o passo, h=\dfrac{b-a}{n};
  • x_0=a, x_n=b e x_i=a+i h;
  • f(x_i) são os valores da função nos nós.
    Essa fórmula vem de somar as áreas de trapezóides: cada trapezóide no subintervalo [x_{i-1},x_i] tem área \dfrac{h}{2}\bigl(f(x_{i-1})+f(x_i)\bigr); somando e rearrumando chega-se à fórmula acima.

Passo 3

Calcular h e os nós:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{1,6-1,2}{4}=\frac{0,4}{4}=0,1.
Os cinco pontos são
x_0=1,2,\quad x_1=1,3,\quad x_2=1,4,\quad x_3=1,5,\quad x_4=1,6.

Passo 4

Calcular os valores f(x_i)=\sin(x_i). Esses valores são obtidos com calculadora (ângulos em radianos). Vou mostrar com várias casas decimais:
\begin{aligned} f(x_0)&=\sin(1,2)\approx 0,9320390859672263,\\[4pt] f(x_1)&=\sin(1,3)\approx 0,9635581854171930,\\[4pt] f(x_2)&=\sin(1,4)\approx 0,9851462603717808,\\[4pt] f(x_3)&=\sin(1,5)\approx 0,9974949866040544,\\[4pt] f(x_4)&=\sin(1,6)\approx 0,9995736030415051. \end{aligned}]

Passo 5

Aplicar a fórmula do trapézio composta. Primeiro a soma dos termos interiores:
\sum_{i=1}^{3} f(x_i)=0,9635581854171930+0,9851462603717808+0,9974949866040544=2,9461994323930283.
Agora a média dos extremos:
\frac{f(x_0)+f(x_4)}{2}=\frac{0,9320390859672263+0,9995736030415051}{2}=0,9658063445043657.
Somando tudo dentro do parêntese:
\frac{f(x_0)+f(x_4)}{2}+\sum_{i=1}^{3} f(x_i)=0,9658063445043657+2,9461994323930283=3,9120057768973940.
Multiplicando por h=0,1:
I\approx 0,1\times 3,9120057768973940=0,3912005776897394.

Passo 6

Interpretação final e observação (rápida). A aproximação pelo trapézio com cinco pontos dá 0,3912006 (arredondando). A integral exata pode ser obtida por primitiva: \int \sin x\,dx=-\cos x, logo o valor exato é \cos(1,2)-\cos(1,6)\approx 0,3915572767779624. O erro da aproximação do trapézio aqui é pequeno (da ordem de 10^{-4}).

Resposta

0,3912005776897394

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