Considere a tabela:
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-2 | -1 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|
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1 | -3 | 1 | 9 |
Pelo método dos mínimos quadrados, ajuste à tabela a função
Passo 1
Beleza, o exercício diz que a gente tem os pontos
x: –2, –1, 1, 2
f(x): 1, –3, 1, 9
e quer ajustar por mínimos quadrados a função
x: –2, –1, 1, 2
f(x): 1, –3, 1, 9
e quer ajustar por mínimos quadrados a função
Isso é um probleminha de regressão linear (a gente trata
e
como variáveis “independentes”).
Para resolver, vamos precisar:
Para resolver, vamos precisar:
- montar as funções base
e ; - aplicar a teoria dos mínimos quadrados (normal equations);
- calcular alguns somatórios;
- resolver o sistema para achar
e .
Passo 2
Teoria rapidinha de mínimos quadrados:
– A gente quer minimizar
– Para achar o mínimo, derivamos em relação a
e a
e igualamos a zero.
– Isso dá o sistema linear (equações normais)
[
]
onde
e
.
Passo 3
Agora vamos calcular cada somatório, usando os quatro pontos:
Tabela auxiliar:
x | f(x) | |
|
|
|
|
–2 | 1 | 4 | –2 | 16 | –8 | 4·1 = 4 | –2·1 = –2
–1 | –3 | 1 | –1 | 1 | –1 | 1·(–3)= –3 | –1·(–3)= 3
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1·1 = 1 | 1·1 = 1
2 | 9 | 4 | 2 | 16 | 8 | 4·9 = 36 | 2·9 = 18
Tabela auxiliar:
x | f(x) |
–2 | 1 | 4 | –2 | 16 | –8 | 4·1 = 4 | –2·1 = –2
–1 | –3 | 1 | –1 | 1 | –1 | 1·(–3)= –3 | –1·(–3)= 3
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1·1 = 1 | 1·1 = 1
2 | 9 | 4 | 2 | 16 | 8 | 4·9 = 36 | 2·9 = 18
Agora somamos coluna a coluna:
Passo 4
Montando o sistema normal:
[
\quad\Longrightarrow\quad
]
Como a matriz é diagonal fica facinho:
Resposta
O ajuste por mínimos quadrados é