Considere a tabela:
x -2 -1 1 2
f(x) 1 -3 1 9
Pelo método dos mínimos quadrados, ajuste à tabela a função
u1(x)=a x^2+b x

Passo 1

Beleza, o exercício diz que a gente tem os pontos
x: –2, –1, 1, 2
f(x): 1, –3, 1, 9
e quer ajustar por mínimos quadrados a função
u1(x)=a,x^2 + b,x
Isso é um probleminha de regressão linear (a gente trata e como variáveis “independentes”).
Para resolver, vamos precisar:
  1. montar as funções base e ;
  2. aplicar a teoria dos mínimos quadrados (normal equations);
  3. calcular alguns somatórios;
  4. resolver o sistema para achar e .

Passo 2

Teoria rapidinha de mínimos quadrados:
– A gente quer minimizar
S(a,b)=sumi=1^nl(f(xi)-l(a,xi^2+b,xir)r)^2
– Para achar o mínimo, derivamos em relação a sumphi1^2 & sumphi1phi2[6pt] sumphi1phi2 & sumphi2^2 a b = sum phi1,f(x)[4pt] sum phi2,f(x) , e a e igualamos a zero.
– Isso dá o sistema linear (equações normais)
[

,
]
onde e .

Passo 3

Agora vamos calcular cada somatório, usando os quatro pontos:
Tabela auxiliar:
x | f(x) | | | | | |
–2 | 1 | 4 | –2 | 16 | –8 | 4·1 = 4 | –2·1 = –2
–1 | –3 | 1 | –1 | 1 | –1 | 1·(–3)= –3 | –1·(–3)= 3
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1·1 = 1 | 1·1 = 1
2 | 9 | 4 | 2 | 16 | 8 | 4·9 = 36 | 2·9 = 18
Agora somamos coluna a coluna:




Passo 4

Montando o sistema normal:
[
sum x^4 & sum x^3[4pt] sum x^3 & sum x^2 a b = sum x^2 f sum x f Longrightarrow 34 & 0 0 & 10 a b = 38 20
34,a = 38 Rightarrow a = 3834 = 1917,

10,b = 20 Rightarrow b = 2010 = 2
\quad\Longrightarrow\quad

.
]
Como a matriz é diagonal fica facinho:

Resposta

O ajuste por mínimos quadrados é
boxedu1(x)=1917,x^2+2,x

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